Epitrocoide

In geometria, un'epitrocoide è una rulletta, ottenibile come curva tracciata da un punto fissato ad un cerchio di raggio $r$ , posto ad una distanza $d$ dal centro, quando il cerchio rotola all'esterno di un altro cerchio di raggio $R$ .

Costruzione di una epitrocoide a otto lobi, con R = 16 , r=2, = d = 5. **d > r**

Costruzione di una con R = 16 , r = **$\pi$** , d = 2. La curva non si chiude mai. r e R sono fra loro incommensurabili ( $r \over R$ è un numero irrazionale.)

Il caso particolare in cui r = d corrisponde ad una epicicloide.

Equazioni

Un'epitrocoide si può individuare con il seguente sistema di equazioni parametriche:

x=(R+r)\cos \theta -d\cos \left({R+r \over r}\theta \right)

y=(R+r)\sin \theta -d\sin \left({R+r \over r}\theta \right)

.

L'equazione polare di un'epitrocoide è

r(\theta )^{2}=(R+r)^{2}-2d(R+r)\cos \left({R \over r}\theta \right)+d^{2},

Le orbite dei pianeti nel sistema tolemaico, una volta molto popolare, sono epitrocoidi.

Un'epitrocoide, così come un'ipotrocoide, può essere tracciata mediante l'utilizzo di uno spirografo.

Casi speciali

Alcuni casi speciali di epitrocoide sono:

la limaccia di Pascal, ottenuta per $R=r$ ;
l'epicicloide, ottenuta per $d=r$ .
l'epitrocoide a due lobi, ottenuta per $R=2r$ , che rappresenta il profilo in sezione della camera di combustione del motore rotativo Wankel.