Funzione di Cantor

In matematica, la funzione di Cantor (a volte chiamata funzione di Cantor-Vitali, o scala del diavolo) è un esempio di funzione continua e crescente con derivata zero in quasi tutti i punti essendo costante in tutti i sottointervalli di ${\displaystyle [0,1]}$ che non contengono punti dell'insieme di Cantor.

Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a ${\displaystyle 1}$.

La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.

Definizione

Con le basi

La funzione di Cantor ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow [0,1]}$  è definita nel modo seguente:

1. Scriviamo ogni numero ${\displaystyle x\in [0,1]}$  in base tre. Con questa notazione:${\displaystyle 1/3\to 0}$ , ${\displaystyle 1_{3},2/3\to 0,2_{3}}$ . Notiamo che alcuni numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio ${\displaystyle 1/3\to 0.0222\ldots }$ ₃ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti ${\displaystyle 0.1=0.09999\ldots }$ ). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra ${\displaystyle 1}$ .
2. Sostituiamo la prima occorrenza della cifra ${\displaystyle 1}$  con un ${\displaystyle 2}$  e tutte le cifre successive con ${\displaystyle 0}$ .
3. Sostituiamo tutte le cifre ${\displaystyle 2}$  con ${\displaystyle 1}$ .
4. Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è ${\displaystyle f(x)}$ .

Ad esempio:

• ${\displaystyle 1/4=0.02020202\ldots _{3}\to 0.01010101_{2}=1/3}$ . Quindi ${\displaystyle f(1/4)=1/3}$ .
• ${\displaystyle 1/5=0.01210121\ldots _{3}}$ , al passo 2 diventa ${\displaystyle 0.02000000\ldots }$ , quindi ${\displaystyle 0.01000000\ldots _{2}=1/4}$ . Quindi ${\displaystyle f(1/5)=1/4}$ .

Come limite di una successione

La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in ${\displaystyle [0,1]}$ , costruite in questo modo:

• Sia ${\displaystyle f_{0}(x)=x}$ ;
• Sia ${\displaystyle f_{n}(x)}$  una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$  lati: 2ⁿ lati sono obliqui di coefficiente angolare ${\displaystyle (3/2)^{n}}$  e ${\displaystyle 2^{n}-1}$  lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza ${\displaystyle (1 \over 3)^{n}}$ . Per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  risulta ${\displaystyle f_{n}(0)=0}$ , ${\displaystyle f_{n}(1)=1}$ . In figura sono disegnate ${\displaystyle f_{0}}$ , ${\displaystyle f_{1}}$  e ${\displaystyle f_{2}}$ .

 

Le prime tre funzioni della successione

Si può "costruire" la ${\displaystyle n+1}$ -esima poligonale ${\displaystyle f_{n+1}}$  come una trasformazione della ${\displaystyle f_{n}}$ : infatti, detti p ${\displaystyle I_{k}^{(n)},k=1,\ldots ,2^{n}}$  e ${\displaystyle J_{k}^{(n)},k=1,\ldots ,2^{n}-1}$  le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è ${\displaystyle f(J_{k}^{(n)})={k/2^{n}}}$ ), allora è ${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}}$  in ${\displaystyle J_{k}^{(n)}\forall k}$ , mentre ogni lato obliquo di ${\displaystyle f_{n}}$  (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo ${\displaystyle I_{k}^{(n)}}$ ) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli ${\displaystyle I_{2k-1}^{(n+1)}}$  e ${\displaystyle I_{2k}^{(n+1)}}$ , e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo ${\displaystyle J_{2k-1}^{(n+1)}}$ .

Si può provare che risulta:

${\displaystyle \sup _{p\in \mathbb {N} \ }{\big \{}\max _{x\in [0,1]}\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}{\big \}}\leq \ {\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}}$ .

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ${\displaystyle [0,1]}$ . Dunque per Errore del parser (funzione sconosciuta '\mapto'): {\displaystyle n \mapto \infty} converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.

Proprietà

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. È a variazione limitata ma non assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0, 1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha misura nulla), ossia negli intervalli del tipo (0.x₁x₂x₃...x_n022222..., 0.x₁x₂x₃...x_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo [0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.

Voci correlate

• Insieme di Cantor
• Variabile casuale di Cantor
• Curva di Peano
• Curva di Koch

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cantor Function, su MathWorld, Wolfram Research.  

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