Campo elettrico
Per calcolare il campo elettrico nella regione, integreremo l'equazione di Poisson in una dimensione:
d
2
V
d
x
2
=
−
ρ
ϵ
{\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}=-{\rho \over \epsilon }}
La densità delle cariche è legata al drogaggio . Nell'ipotesi che sia uniforme:
ρ
(
x
)
=
{
−
q
N
A
,
x
∈
[
−
W
1
,
0
]
q
N
D
,
x
∈
[
0
,
W
2
]
{\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}-qN_{A},&x\in [-W_{1},0]\\qN_{D},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}
Integrando l'equazione di Poisson :
d
V
d
x
=
{
q
N
A
ϵ
x
+
C
1
,
x
∈
[
−
W
1
,
0
]
−
q
N
D
ϵ
x
+
C
2
,
x
∈
[
0
,
W
2
]
{\displaystyle {\frac {dV}{dx}}={\begin{cases}{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}x+C_{1},&x\in [-W_{1},0]\\-{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}x+C_{2},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}
ed imponendo le condizioni al contorno:
E
(
−
W
1
)
=
0
{\displaystyle E(-W_{1})=0}
otteniamo:
E
(
x
)
=
−
d
V
d
x
=
{
−
q
N
A
ϵ
(
x
+
W
1
)
,
x
∈
[
−
W
1
,
0
]
q
N
D
ϵ
(
x
−
N
A
N
D
W
1
)
,
x
∈
[
0
,
W
2
]
{\displaystyle E(x)=-{dV \over dx}={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}(x+W_{1}),&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}(x-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}),&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}
La tensione, nell'ipotesi di drogaggio uniforme, si ottiene integrando il campo elettrico lungo la regione:
V
(
x
)
=
{
−
q
N
A
ϵ
(
1
2
x
2
+
W
1
x
)
+
C
1
,
x
∈
[
−
W
1
,
0
]
q
N
D
ϵ
(
1
2
x
2
−
N
A
N
D
W
1
x
)
+
C
2
,
x
∈
[
0
,
W
2
]
{\displaystyle V(x)={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+W_{1}x)+C_{1},&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}x)+C_{2},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}
imponendo le condizioni al contorno:
V
(
−
W
1
)
=
0
{\displaystyle V(-W_{1})=0\!}
otteniamo:
V
(
x
)
=
{
−
q
N
A
ϵ
(
1
2
x
2
+
W
1
x
+
1
2
W
1
2
)
,
x
∈
[
−
W
1
,
0
]
q
N
D
ϵ
(
1
2
x
2
+
N
A
N
D
W
1
x
−
N
A
2
N
D
W
1
2
)
,
x
∈
[
0
,
W
2
]
{\displaystyle V(x)={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+W_{1}x+{1 \over 2}W_{1}^{2}),&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+{N_{A} \over N_{D}}W_{1}x-{N_{A} \over 2N_{D}}W_{1}^{2}),&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}
La differenza di tensione ai bordi della regione di svuotamento risulta:
Δ
V
=
V
(
W
2
)
−
V
(
−
W
1
)
=
=
V
(
W
2
)
=
=
q
N
D
ϵ
(
1
2
W
2
2
+
N
A
N
D
W
1
W
2
−
N
A
2
N
D
W
1
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta V&=V(W_{2})-V(-W_{1})=\\&=V(W_{2})=\\&={\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}W_{2}^{2}+{N_{A} \over N_{D}}W_{1}W_{2}-{N_{A} \over 2N_{D}}W_{1}^{2})\end{aligned}}}
Possiamo semplificare ulteriormente ricordando che nell'equilibrio elettrostatico la regione è nel complesso neutra, e la carica positiva nella zona n è uguale alla carica negativa nella zona p:
N
A
W
1
=
N
D
W
2
⇔
⇔
W
2
=
N
A
N
D
W
1
⇒
⇒
Δ
V
=
q
N
D
ϵ
(
1
2
W
2
2
+
N
A
N
D
W
1
W
2
−
N
A
2
N
D
W
1
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&N_{A}W_{1}=N_{D}W_{2}&\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow &W_{2}={N_{A} \over N_{D}}W_{1}&\Rightarrow \\\Rightarrow &\Delta V={\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}W_{2}^{2}+{N_{A} \over N_{D}}W_{1}W_{2}-{N_{A} \over 2N_{D}}W_{1}^{2})\end{aligned}}}
Larghezza della regione
![{\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}-qN_{A},&x\in [-W_{1},0]\\qN_{D},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703ad4896d4bc49bda309936dcad9d95c4391d2c)
![{\displaystyle {\frac {dV}{dx}}={\begin{cases}{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}x+C_{1},&x\in [-W_{1},0]\\-{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}x+C_{2},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a4e6bcbddfb82d86d7a3fde6481e4dcef82571)
![{\displaystyle E(x)=-{dV \over dx}={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}(x+W_{1}),&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}(x-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}),&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0031e39181b2699c7bfcbe503059749b7207a4c9)
![{\displaystyle V(x)={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+W_{1}x)+C_{1},&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}-{N_{A} \over N_{D}}W_{1}x)+C_{2},&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6a0dd6cc5b0438f7dd886594e44f97ebed53f5)
![{\displaystyle V(x)={\begin{cases}-{\frac {qN_{A}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+W_{1}x+{1 \over 2}W_{1}^{2}),&x\in [-W_{1},0]\\{\frac {qN_{D}}{\epsilon }}({1 \over 2}x^{2}+{N_{A} \over N_{D}}W_{1}x-{N_{A} \over 2N_{D}}W_{1}^{2}),&x\in [0,W_{2}]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402be1622b41891f8381b6f664c6c6bd87051c8f)
