Criterio di ottimalità

Nella teoria della decisione, un criterio di ottimalità è uno strumento utilizzato per confrontare diverse decisioni e scegliere la più appropriata. In particolare, la decisione è solitamente scelta in modo da minimizzare tale criterio.

Un criterio di ottimalità non garantisce automaticamente l'esistenza di una decisione ottima, né che questa sia unica.

Definizione formale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Problema decisionale.

Un criterio di ottimalità ${\displaystyle K}$ , nell'ottica di un problema decisionale ${\displaystyle (\Omega ,\Delta ,W_{\delta },K)}$ , è un funzionale dallo spazio delle funzioni di perdita possibili ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$  ai numeri reali:

${\displaystyle K:{\mathcal {W}}\rightarrow {\mathcal {R}}^{1}}$ 

Criteri di ottimalità più comuni

Tra i più comuni esempi di criteri di ottimalità ritroviamo i seguenti.

Criterio del valore atteso

Il criterio del valore atteso è definito come il valore atteso della funzione di perdita, ossia il suo integrale di Lebesgue su tutto lo spazio degli stati di natura ${\displaystyle \Omega }$  rispetto a una misura di probabilità ${\displaystyle P}$ . In formule:

${\displaystyle K_{E}(W_{\delta })=E(W_{\delta })=\int _{\Omega }W_{\delta }dP}$ 

Tale criterio, poiché incorpora una misura di probabilità al suo interno, è detto bayesiano. Ovviamente deve valere, per applicare tale criterio, la condizione di regolarità che i valori attesi delle funzioni di perdita esistano.

Quando ${\displaystyle P}$  è una misura di probabilità uniforme (ossia ogni stato di natura è equiprobabile), si parla anche di criterio di Bayes-Laplace, che può essere rappresentato come ${\displaystyle K_{BL}(W_{\delta })={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}W_{\delta }(\omega _{i})}$  nel caso discreto e come ${\displaystyle K_{BL}(W_{\delta })={\frac {1}{mis(\Omega )}}\int _{\Omega }W_{\delta }(\omega )d\omega }$  nel caso continuo.

Criterio del minimax

Il criterio del minimax è così chiamato perché cerca di minimizzare il massimo delle funzioni di perdita. È infatti definito come:

${\displaystyle K_{MINIMAX}(W_{\delta })=sup_{\omega }W_{\delta }(\omega )}$ 

In altre parole, il criterio equivale al massimo valore che la funzione di perdita assume su tutto lo spazio degli stati di natura.

Tale criterio, esulando da qualsiasi considerazione sulla probabilità degli stati di natura, è detto non bayesiano.

Criterio media-varianza

Il criterio media-varianza è un criterio che penalizza la variabilità delle perdite, definito come:

${\displaystyle K_{MV}(W_{\delta })=E(W_{\delta })+\alpha V(W_{\delta })}$ 

dove ${\displaystyle \alpha >0}$  e ${\displaystyle V(\cdot )}$  indica la varianza della funzione di perdita.

Tale criterio, dovendo essere minimizzato, implica la scelta a parità di valore atteso della decisione con perdite meno variabili; un suo difetto, tuttavia, è la sensibilità alla discordanza dimensionale tra media e varianza, motivo per cui la varianza è talvolta sostituita dallo scarto quadratico medio. Anche per questo criterio devono valere le condizioni di regolarità per cui media e varianza devono esistere per le funzioni di perdita.

Criterio di Hurwicz

Il criterio di Hurwicz cerca di risolvere un problema insito nel criterio del minimax che è l'indesiderabilità del suo approccio "pessimista", ossia che tende a considerare tra tutte solo la perdita peggiore che può essere subita. Esso introduce un cosiddetto parametro detto indice di pessimismo-ottimismo ${\displaystyle \lambda }$  che permette di regolare il "pessimismo" del criterio:

${\displaystyle K_{H}(W_{\delta })=\lambda sup_{\omega }W_{\delta }(\omega )+(1-\lambda )inf_{\omega }W_{\delta }(\omega ),0\leq \lambda \leq 1}$ 

Ovviamente, per ${\displaystyle \lambda =1}$  si torna al criterio del minimax.

Bibliografia

• Piccinato, Ludovico. Teoria delle decisioni statistiche. Springer, 2009.