Funzione differenziabile

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Il concetto di funzione differenziabile è il concetto su cui si fondano l'analisi matematica e la geometria differenziale.

L'idea è quella di una funzione tale che se si fa uno zoom a scale sempre più piccole del grafico della funzione nelle vicinanze di qualsiasi punto la funzione tende a somigliare sempre più ad una funzione lineare ed il grafico ad un iperpiano affine. Più precisamente quello che si richiede ad una funzione per essere differenziabile è di essere approssimabile nell'intorno di ogni punto con una funzione lineare. La differenziabilità di una funzione da la possibilità di definire un iperpiano tangente ad ogni punto del suo grafico.

Definizione

Una funzione

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 

è differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  se esiste una applicazione lineare

${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 

(dipendente dal punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ) tale che

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}=\mathbf {0} }$ 

(i caratteri in grassetto rappresentano vettori); in questo caso l'applicazione ${\displaystyle A}$  si indica con la scrittura ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  e si chiama differenziale di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ .

La matrice che rappresenta ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  viene chiamata matrice jacobiana di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ .

Differenziabilità e continuità

Una funzione differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è automaticamente continua in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ . Infatti

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})=\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}+{A\mathbf {h} }=\mathbf {0} }$ 

per la continuità delle funzioni lineari.