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La teoria di Teichmüller inter-universale (Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT o più raramente IUTT e IUTeich), indicata anche come la teoria della deformazione aritmetica,[1] è una teoria che è oggetto di dibattiti in particolare nella comunità dei matematici. La teoria è stata sviluppata da Shin'ichi Mochizuki e pubblicata nel 2012 per dimostrare la congettura abc. Questa teoria è correlata ai risultati ottenuti nella geometria mono-anabeliana assoluta, un approccio della geometria abeliana.

Storia e prima concettualizzazione

La teoria è stata sviluppata da Shin'ichi Mochizuki, professore e ricercatore al centro RIMS (Research Institute for Mathematical Sciences) dell'Università di Kyoto. Mochizuki è un bambino prodigio in matematica che si è laureato in matematica e ha conseguito il PhD all'Università di Princeton; il suo referente era Gerd Faltings. Il suo principale interesse è costituito dalle curve iperboliche in geometria aritmetica. Durante i primi Anni '90, la sua ricerca in particolare si è focalizzata sulla geometria anabeliana p-adica e sulla teoria di Teichmüller p-adica, dunque una versione particolare della teoria di Teichmüller. Il suo obiettivo era capire le numerose connessioni tra la teoria di Teichmüller e la geometria anabeliana combinatorica delle curve iperboliche.[2]

Fino al 2012, ha sviluppato una teoria che permettesse di risolvere la congettura di abc (una congettura molto importante e complessa all'interno della teoria dei numeri con ricadute in primis sulla crittografia) e contemporaneamente che potesse gettare luce su altre congetture non ancora risolte in matematica e portare infine a un'altra dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, già dimostrato da Andrew Wiles.

Secondo un report di Mochizuki del marzo 2008 sulle sue attività di ricerca dall'estate 1992 al 2000, aveva iniziato a indagare le basi per la IUT tra l'estate del 2000 e l'estate del 2006. Per la precisione, la prima intuizione venne dopo il periodo di ricerca sulla teoria di Hodge-Arakelov sulle curve ellittiche (1998-2000), culminata nei suoi due paper A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I e II. In questo filone di ricerca, Mochizuki ha provato a creare, nel contesto della teoria di Arakelov sulle curve ellittiche su campi numerici, una teoria analoga alla teoria di Hodge sui numeri complessi e p-adici. Queste considerazioni, discusse anche con una riformulazione basata sull'uso dell'integrale gaussiano, sono discusse nei due paper menzionati.[3]

Nello stesso report, Mochizuki indicava come la teoria di Hodge-Arakelov aveva caratteristiche interessanti, come la possibilità di costruire una mappa aritmetica di Kodaira-Spencer, per cui aveva una relazione con la congettura abc. Tuttavia, la teoria di Hodge-Arakelov, da sola, non è sufficiente per provare la congettura abc. Pertanto, secondo Mochizuki, per risolverla era necessario usare un framework che andava oltre la geometria aritmetica convenzionale. Durante l'inizio della ricerca, la filosofia di Mochizuki era che l'essenza della geometria aritmetica non consiste negli schemi specifici che sono presenti in un ambiente/setting specifici di geometria aritmetica; l'essenza risiederebbe piuttosto nei pattern combinatorici astratti che governano le dinamiche di questi schemi specifici e negli algoritmi combinatorici che descrivono questi pattern. Una geometria basata su quest'idea viene detta "geometria inter-universale".

La nascita della geometria mono-anabeliana assoluta

Per svolgere ricerca su tale geometria e dunque sui pattern combinatorici astratti e gli algoritmi combinatorici, il settore matematico di riferimento da sviluppare e studiare è la geometria anabeliana: la geometria anabeliana è una branca della teoria dei numeri che descrive il modo in cui il gruppo fondamentale algebrico G appartenente a una varietà aritmetica X permette di riottenere X. Due importanti matematici che vi hanno contribuito sono Kenkichi Iwasawa e Alexander Grothendieck, autore della congettura anabeliana di Grothendieck; questa congettura è stata dimostrata con il lavoro di Akio Tamagawa e dello stesso Shin'ichi Mochizuki.

Tuttavia, la geometria anabeliana generica non basta siccome è necessaria una sua versione (o "approccio, variante") particolare, la geometria mono-anabeliana assoluta. Questo approccio è capace di ricostruire/ripristinare la curva per una certa classe di curve iperboliche su campi numerici (o su altri campi) a partire dal suo gruppo algebrico fondamentale; è detta "assoluta" perché l'approccio è condotto in un ambiente/setting in cui non si tiene in considerazione il gruppo di Galois assolute del campo base. La geometria mono-anabeliana assoluta in particolare tratta alcuni tipi di curve iperboliche di tipo Belyi su campi numerici e campi locali, per cui la geometria anabeliana classica viene estesa parecchio; data una curva caratterizzata da un gruppo fondamentale étale (étale fundamental group), vengono costruiti algoritmi per produrre la curva a partire proprio dal gruppo fondamentale étale, fino ad arrivare all'isomorfismo. L'approccio non assoluto e classico della geometria anabeliana è ribattezzato da Mochizuki "geometria bi-abeliana".

Lo stesso Mochizuki ha sviluppato la geometria mono-anabeliana assoluta tra il 2000 e il 2006 proprio per iniziare a costruire una "geometria inter-universale" e alcuni risultati utili pubblicati in Topics in Absolute Anabelian Geometry I (2012), II (2013) e anche III (2015):[3]

  • i monoidi che appaiono nella geometria degli schemi logaritmici (log schemes)
  • i gruppi fondamentali aritmetici (cioè le categorie di Galois trattate nella geometria anabeliana)
  • la struttura astratta dei grafi (e.g., il grafico duale di una curva degenere stabile)

Altri risultati che portano allo sviluppo della IUT sono contenute in ulteriori paper:[3]

  • The geometry of anabelioids (2001)
  • The absolute anabelian geometry of canonical curves (2001)
  • Categorical representation of locally noetherian log schemes (2002)
  • Semi-graphs of anabelioids (2004)
  • Conformal and quasiconformal categorical representation of hyperbolic Riemann surfaces (2004)
  • Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves (2005)
  • The geometry of Frobenioids I e II (2005), in cui Shin'ichi Mochizuki per la prima volta descrive una nuova categoria nella geometria mono-anabeliana assoluta, i "frobenioidi" (una parola formata da "Frobenius" e "monoide"; il monoide è una struttura appartenente alla teoria delle categorie e che appare nella teoria degli schemi logaritmici); in questo paper in particolare, Mochizuki mostra come strutture come le categorie di Galois e i monoidi operano l'una sull'altra

Mochizuki, nel corso degli anni, ha più volte ripubblicato i paper in versione aggiornata, ad esempio per migliorare le spiegazioni.

Il punto di svolta

Nel 2006, quando ormai questi risultati preliminari e dunque l'impalcatura della geometria mono-anabeliana assoluta è stata fondata, degli ulteriori paper pubblicati tra il 2006 e la primavera del 2008 hanno preparato alla IUT con delle idee in forma più definita; l'idea fondamentale era quella di sviluppare una teoria nuova e analoga alla teoria di Teichmüller p-adica sviluppata da Mochizuki stesso e applicata alle curve iperboliche dotate di un fascio (bundle) indigeno ordinario e nilpotente; questa teoria nuova e analoga andava sviluppata per i campi numerici equipaggiati con una curva ellittica a una punta (one-pointed) e su cui era applicabile la teoria di Hodge-Arakelov. I paper preparatori sono proprio The étale theta function and its Frobenioid-theoretic manifestations (2006), Topics in absolute anabelian geometry I: generalities (2008), Topics in absolute anabelian geometry II: decomposition groups (2008) e Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms (2008). Questi paper contengono anche risultati e idee non direttamente collegate alla IUT.

La IUT, a questo punto, se si descrive usando il concetto di integrale gaussiano, è la versione inter-universale o "la versione globale nella teoria di Galois" dell'integrale gaussiano. Inoltre, la trasformazione tra coordinate cartesiane e polari che appartengono all'integrale gaussiano corrispondono, nella sua versione inter-universale, alle strutture simil-Frobenius (Frobeniu-like) e simil-étale (étale-like) in The Geometry of Frobenioids I e II.[3]

Shin'ichi Mochizuki, mentre iniziava a sviluppare la IUT, ha anche fondato la geometria anabeliana combinatorica attraverso i suoi lavori A combinatorial version of the Grothendieck conjecture (2007), On the combinatorial cuspidalization of hyperbolic curves (2010) e Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves (2012-2013), una serie di 4 paper scritti insieme al suo studente Yuichiro Hoshi. In particolare, in A combinatorial version of the Grothendieck conjecture, Mochizuki tratta i semi-grafi degli anabelioidi associati a curve stabili degeneri in un framework combinatorico astratto, in cui la teoria degli schemi non appare in modo esplicito.[3]

La scrittura della IUT

Secondo la sezione "Pensieri" (Thoughts) del suo blog personale, che tuttavia si interrompe nel 2012, nel giugno 2008, dopo la pubblicazione di un suo paper sulla cuspidalizzazione combinatorica focalizzata sulle curve iperboliche proprie in cui era sul punto di ottenere una generalizzazione del teorema di Matsumoto, aveva indicato che si poteva arrivare facilmente a questo risultato se si applicava una teoria di natura combinatorica che usciva al di fuori della teoria degli schemi. All'epoca stava già sviluppando la IUT.[4] A febbraio 2009, aveva deciso di sviluppare la IUT in 3 paper invece degli originali 2 e aveva già concluso la stesura del primo paper. Nel mese di ottobre, aveva deciso di sviluppare la teoria in 4 paper per renderla più chiara, aveva steso metà del secondo paper e aveva già previsto di finire la stesura dell'intero lavoro nell'estate del 2012. Durante la stesura, ha effettuato molte semplificazioni alla versione originale della IUT, tra cui l'eliminazione di una complessa teoria dei limiti. Ad aprile 2010, aveva finito la stesura del secondo paper eccetto l'introduzione. Nel giugno 2011 aveva finito la prima stesura del terzo paper. Nel gennaio 2012, stava dando il controllo finale ai 4 paper.[4]

Il 30 agosto 2012, ha pubblicato sul suo blog la IUT, articolata in 4 paper in formato PDF e scritti in inglese. I paper sono:

  • IUTeich I: Construction of Hodge Theaters[5]
  • IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation[6]
  • IUTeich III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice[7]
  • IUTeich IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations[8] (fino al giugno 2011 chiamato IUTeich IV: An Analogue of the Hasse Invariant)

Successivamente, ha pubblicato altri due paper che fanno uso della IUT:

  • Bogomolov's Proof of the Geometric Verson of the Szpiro Conjecture from the Point of View of Inter-Universal Teichmüller Theory,[9] in cui la dimostrazione della congettura di Bogomolov viene correlata alla IUT;
  • Explicit Estimates in Inter-Universal Teichmüller Theory,[10] in cui viene offerta una nuova dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat

Infine, un paper (di cui il primo di Mochizuki) che dà una panoramica della IUT scritti dopo la sua pubblicazione è A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmüller Theory.[11]

A questo, si aggiunge un paper che tenta di delucidare meglio la logica dietro alla IUT, On the Essential Logical Structure of Inter-Universal Teichmüller Theory in Terms of Logical AND "∧"/Logical OR "∨" Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Mian Papers on Inter-Universal Teichmüller Theory.[12]

Nel luglio 2016, Yuichiro Hoshi ha pubblicato 3 gruppi di slide per spiegare i paper III e IV della IUT dal punto di vista del trasporto mono-abeliano.[13][14][15]

Nell'aprile 2020, Taylor Dupuy ha pubblicato un paper che discute le applicazioni della IUT per ricavare tre varianti della disuaglianza di Szpiro, dette "Probabilistic Szpiro", "Baby Szpiro" e "Explicit Szpiro".[16]

Nel paper Inter-universal Teichmüller Theory as an Anabelian Gateway to Diophantine Geometry and Analytic Number Theory,[17] pubblicato dopo un workshop del RIMS svolto insieme all'Istituto di ricerca matematica di Oberwolfach (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, MFO), Mochizuki ha delineato una futura linea di ricerca, focalizzata sull'applicazione della IUT alla geometria mono-anabeliana assoluta per trovare altri risultati in geometria diofantea. Un'altra linea di ricerca consiste nella semplificazione della versione della IUT pubblicata nel 2012; in totale, attraverso nuovi risultati che riguardano la congettura della sezione anabeliana (Anabelian Section Conjecture) in geometria anabeliana di Grothendieck combinata con dei nuovi risultati in geometria anabeliana applicata agli anelli di valutazione (valuation rings) discreti completi con campi residui perfetti , sono in fase di sviluppo 3 nuove versioni della IUT. In particolare, il paper cita una di queste 3 versioni, la Galois-orbit version of IUT (GalOrbIUT),[17] la "versione orbita-Galois della IUT". Il paper infine aggiunge come la teoria della risoluzione delle non-singolarità (Resolution of Non-Singularities, RNS) funzioni come una sorta di analogo p-adico locale della IUT in base all'analogia "Norm(−) = (−)" ↔ "N·(−) ≈ (−)".

Breve presentazione

Secondo l'articolo A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmüller Theory, la IUT è una sorta di versione aritmetica della teoria di Teichmüller che specificatamente riguarda alcuni tipi di deformazioni canoniche associate a una curva ellittica su un campo numerico e un numero primo l (lettera elle) ≥ 5. La teoria è stata generata a causa delle difficoltà nell'applicazione della teoria di Hodge-Arakelov (appartenente alla teoria degli schemi) alla geometria diofantea. Pertanto, la IUT permette le deformazioni slegate dalla teoria degli schemi.[11]

IUTeich I: Construction of Hodge Theaters

.

IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation

.

IUTeich III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice

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IUTeich IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations

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Dibattiti

Pubblicazione dei paper

Già durante il momento della pubblicazione, appena dopo l'agosto 2012, la IUT ha messo in difficoltà i matematici di tutto il mondo a causa della sua vastità (500-600 pagine A4 in PDF) e complessità in quanto la IUT introduceva nuovi concetti a loro volta collegati a concetti semi-nuovi in un approccio recente alla geometria anabeliana, la geometria mono-anabeliana assoluta. Jordan Ellenberg dell'Università del Wisconsin-Madison ha detto che leggere i paper di Mochizuki è come leggere un paper dal futuro o dallo spazio. Gerd Faltings, già referente di Mochizuki durante il suo PhD, ha criticato la IUT per essere scritta in modo poco chiaro. Mochizuki ha rifiutato ogni invito di viaggiare all'estero per tenere lezioni, seminari e workshop sulla IUT. Il circolo di docenti e ricercatori legati a Mochizuki al RIMS ha indicato la IUT come corretta.[18]

Il 7-11 dicembre 2015, un workshop al Clay Institute of Mathematics ha provato a presentare la teoria. Al worshop, tra i vari, erano presenti Yuichiro Hoshi e Go Yamashita del RIMS di Kyoto oltre a Ivan Fesenko (Università di Nottingham), Fucheng Tan (Jiaotong University), Jakob Stix (Università di Francoforte), Minhyong Kim (Università di Oxford) e Kiran Kedlaya (Università di San Diego in California).[18]

Nel dicembre 2015, Taylor Dupuy ha pubblicato su YouTube una piccola serie di 3 video che presentano la IUT.[19][20][21]

Negli anni a seguire, si sono tenuti ulteriori seminari in particolare all'Università di Kyoto che tuttavia non sono riusciti a delucidare bene la IUT ai matematici presenti.

Nel mentre, l'Asahi Shimbun, un famoso quotidiano giapponese, il 16 dicembre 2017 ha dichiarato che la IUT era sul punto di essere validata; dopo questa dichiarazione, Peter Woit della Columbia University (New York) ha spiegato che l'approvazione di una teoria la cui veridicità era ancora oggetto di controversia a causa della difficoltà e vastità della teoria stessa avrebbe creato una situazione senza parallelo nella Storia della matematica.[18]

La controversia con Scholze e Stix e la pubblicazione

Nel marzo 2018, Peter Scholze e Jakob Stix hanno incontrato Mochizuki al RIMS di Kyoto per una settimana per discutere un presunto errore nella teoria IUT che la invalidava completamente; il punto problematico era il corollario 3.12 contenuto nel 4° paper. Mochizuki ha difeso la propria teoria. Il 16 luglio 2018, Scholze e Stix hanno pubblicato su una pagina dell'Università di Bonn il report "Why abc is still a conjecture" in cui spiegano come mai, secondo loro, il corollario 3.12 è errato.[22] Nel luglio 2018, Mochizuki ha pubblicato un report in cui rigetta le argomentazioni di Scholze e Stix.[23] Nel settembre 2018, Scholze e Stix hanno anche concesso un'intervista a Quanta, una rivista di fisica, in cui hanno ribadito come la IUT abbia una falla irreparabile e come la congettura abc non sia stata dimostrata.[18] Il 6-19 aprile Peter Scholze ha avuto una discussione in merito con alcuni matematici su un blog sulla IUT e la congettura di Szpiro; anche di questa discussione esiste un report ordinato pubblicato da Scholze.[24]

Il 3 aprile 2020 è stato annunciato che la IUT sarebbe stata pubblicata su Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, una rivista di matematica prodotta dal RIMS. L'annuncio è stato fatto da Masaki Kashiwara e Akio Tamagawa; Mochizuki, che ha più volte rifiutato le richieste di intervista e non si è mai spostato da Kyoto, non era presente alla conferenza. Questo annuncio era già stato anticipato da voci di corridoio. La pubblicazione ha aggiunto un'ulteriore controversia alla IUT. Kiran Kedlaya ha detto che, dal 2018 al 2020, la maggioranza della comunità di matematici non ha cambiato l'opinione per cui la IUT è errata. Edward Frenkel dell'Università di Berkely in California ha sospeso il giudizio sulla pubblicazione in attesa di altre informazioni sulla correttezza o meno della IUT. Minhyong Kim dell'Università di Oxford ha detto che sarebbe grande se le idee di Mochizuki fossero confermate.[18]

Sviluppi recenti

Nel maggio 2020, è stato pubblicato un paper di Taylor Dupuy (poi ripubblicato come seconda versione nel giugno 2025), The Statement of Mochizuki's Corollary 3.12: Initial Theta Data. In questo paper, Dupuy prova a semplificare la definizione dei dati teta iniziali e costruisce un esempio di questi dati a partire da una curva ellittica nei numeri razionali (Q); la definizione è complessa a causa della lunghezza e del grande numero di costrutti ausiliari.[25] Dupuy, in un'intervista del giugno 2022 postata su YouTube, spiega di "avere provato" in passato a capire la IUT[26] e lascia intendere di non averla capita completamente a causa della lunghezza e difficoltà.

Il 6 giugno 2023, è stato istituito l'Inter-Universal Geometry Center (IUCG), poi ribattezzato ZEN Mathematics Center (ZMS), alla ZEN University, un'università online giapponese con campus fisico a Zushi (逗子), nella prefettura di Kanagawa; contestualmente Nobuo Kawakami, il fondatore di Dwango (un'azienda di telecomunicazioni), ha istituito il premio IUT Challenger e IUT Innovator: il primo è un premio pari a un milione di dollari che verrà assegnato a chi dimostra una falla nella IUT, mentre il secondo è un premio istituito per 10 anni consecutivi pari a 20.000-100.000 dollari per chi pubblica contenuti originali sulla IUT; il premio è tarato in base all'originalità e rilevanza del contributo. Il premio IUT Challenger viene assegnato direttamente da Kawakami, mentre il premio IUT Innovator viene assegnato da una giuria di membri dell'Inter-Universal Geometry Center. Gli articoli, per poter competere, devono essere pubblicati su riviste di matematica menzionate dal repertorio MathSciNet da parte di matematici che hanno pubblicato almeno 10 articoli sul tema della geometria aritmetica durante gli ultimi 10 anni.[27] Nell'aprile 2024, si è tenuta a Tokyo la prima Conferenza IUCG sulla IUT;[28] all'epoca, lo ZEN Mathematics Center era ancora chiamato "IUCG". Nel 2024, il primo premio IUT Innovator pari a 100.000$ è stato assegnato proprio a Mochizuki, Ivan Fesenko, Yuichiro Hoshi, Arata Minamide e Wojciech Porowski per l'articolo Explicit Estimates in Inter-Universal Teichmüller Theory, pubblicato sul Kodai Mathematical Journal (KMJ) dell'Istituto di Scienza a Tokyo. Il premio è stato accettato da tutti gli autori tranne Ivan Fesenko; coloro che l'hanno accettato l'hanno donato al RIMS per finanziare la ricerca sulla IUT e la relativa geometria anabeliana.[29]

Kirti Joshi, un matematico dell'Università dell'Arizona, ha provato a sviluppare una versione alternativa della IUT per risolvere la presunta falla trovata da Scholze e Stix. La sua versione è contenuta in 3 paper pubblicati rispettivamente nel 2021, 2023 e 2024 (e aggiornati il 24 febbraio 2025), a cui si aggiunge un preprint in cui prova a dimostrare la congettura abc:

  • Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces I[30]
  • Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces II½: Deformation of Number Fields[31]
  • Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces III: A 'Rosetta Stone' and a proof of Mochizuki's Corollary 3.12[32]
  • Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces IV: Proof of the abc-conjecture[33]

I paper inoltre spiegano le differenze tra le idee originali di Mochizuki e quelle di Joshi. Tuttavia, la sua versione è stata duramente attaccata da Mochizuki nel 2024;[34] dopodiché, è stata attaccata anche da Scholze; quest'ultimo ha nuovamente ribadito che la congettura abc è ancora irrisolta. Kirti Joshi ha anche scritto un ulteriore paper che riguarda la controversia sul corollario 3.12,[35] un insieme di domande e risposte sui propri paper a tema IUT[36] e due riposte ad alcune critiche di Mochizuki e Scholze.[37][38]

L'8 marzo 2025, Zhou Zhongpeng (周忠鹏) ha pubblicato un nuovo risultato legato alla IUT; il paper si chiama The inter-universal Teichmüller theory and new Diophantine results over the rational numbers. I.[39] Dal titolo, potrebbe essere il primo di una serie. Nel paper, Zhongpeng applica una sua versione leggermente modificata della IUT sul campo dei numeri razionali e offre alcune dimostrazioni dell'ultimo teorema di Fermat generalizzato. Zhou Zhongpeng è un cinese originario di Lianyungang (连云港) nel Jiangsu che ha vinto le Olimpiadi nazionali di Matematica mentre era alla scuola superiore. Pertanto, è stato raccomandato all'Università di Pechino, in cui si è laureato con lode in ingegneria e ha vinto una borsa di studio; già durante la laurea triennale a Pechino, studiava online da autodidatta la teoria dei numeri. Dopodiché, ha interrotto un PhD in teoria dei grafi siccome questo campo non era compatibile con la sua passione principale, la teoria dei numeri algebrica; dal 2023, durante il suo duro lavoro come ingegnere di algoritmi di controllo del rischio alla Huawei a Haidian (Pechino), che gli assorbiva 12-14 ore al giorno (10:30-22:00), nel tempo libero e in piena notte ha studiato la IUT. Nel 2024, nell'arco di 5 mesi, ha scritto il suo paper, sottoposto poi a giugno all'attenzione di Ivan Fesenko (che nel mentre si era spostato all'Università di Westlake a Hangzhou). Dopo una discussione con Fesenko, Zhoupeng ha pubblicato il suo paper (marzo 2025), ha lasciato il suo lavoro come ingegnere nel settembre, ha tenuto una conferenza internazionale di 40 minuti a Kyoto sui suoi risultati ed è tornato a studiare matematica pura a Hangzhou sotto il tutorato di Ivan Fesenko. In futuro, vorrebbe svolgere un altro PhD con Fesenko.[40][41][42][43][44]

Nel luglio 2025, si è tenuta a Tokyo la seconda conferenza dello ZMC (ZEN Mathematics Center); in esso, è stata discussa la possibilità di formalizzare la geometria anabeliana con Lean4,[45] in modo tale da permettere ai supercomputer di verificare le congetture e dimostrazioni matematiche in questo campo. Alla conferenza hanno partecipato, tra i vari, Yuichiro Hoshi e Kiran Kedlaya.

Note

  1. ^ (EN) Mark Green e Phillip Griffiths, Deformation theory and limiting mixed Hodge structures, Cambridge University Press, 4 febbraio 2016, pp. 88–133. URL consultato il 15 luglio 2025.
  2. ^ MOCHIZUKI, Shinichi, su www.kurims.kyoto-u.ac.jp. URL consultato il 15 luglio 2025.
  3. ^ a b c d e (EN) Shin'ichi Mochizuki, Report of Past and Current Research (as of 2008-03-25) (PDF), Kyoto, 25 marzo 2008.
  4. ^ a b (EN) Thoughts of Shinichi Mochizuki, su www.kurims.kyoto-u.ac.jp. URL consultato il 15 luglio 2025.
  5. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters (PDF), Kyoto, 30 agosto 2012.
  6. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-Theoretic Evaluation (PDF), Kyoto, 30 agosto 2012.
  7. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory III: Canonical Splittings of the Log-Theta-Lattice (PDF), Kyoto, 30 agosto 2012.
  8. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations (PDF), Kyoto, 30 agosto 2012.
  9. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Bogomolov's Proof of the Geometric Verson of the Szpiro Conjecture from the Point of View of Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF), Kyoto, gennaio 2016.
  10. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Ivan Fesenko e Yuichiro Hoshi, Explicit Estimates in Inter-Universal Teichmuller Theory (PDF), Kyoto, 5 maggio 2022.
  11. ^ a b (EN) Shin'ichi Mochizuki, A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory (PDF), Kyoto, 20 agosto 2013.
  12. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, On the Essential Logical Structure of Inter-Universal Teichmüller Theory in Terms of Logical "∧"/Logical OR "∨" Relations: Report on the Occasion of the Publication of the Four Mian Papers on Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF), Kyoto, marzo 2024.
  13. ^ (EN) Yuichiro Hoshi, [IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport I: Log-theta-lattices (PDF), 22 luglio 2016.
  14. ^ (EN) Yuichiro Hoshi, [IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport II: Number Fields (PDF), 22 luglio 2016.
  15. ^ (EN) Yuichiro Hoshi, [IUTch-III-IV] from the Point of View of Mono-anabelian Transport III: Theta Values (PDF), 22 luglio 2016.
  16. ^ (EN) Taylor Dupuy e Anton Hilado, Probabilistic Szpiro, Baby Szpiro, and Explicit Szpiro from Mochizuki's Corollary 3.12, 29 aprile 2020, DOI:10.48550/arXiv.2004.13108. URL consultato il 15 luglio 2025.
  17. ^ a b (EN) Shin'ichi Mochizuki, Inter-universal Teichmüller Theory as an Anabelian Gateway to Diophantine Geometry and Analytic Number Theory (PDF), Kyoto, 2023.
  18. ^ a b c d e (EN) Davide Castelvecchi, Mathematical proof that rocked number theory will be published, in Nature, vol. 580, n. 7802, 3 aprile 2020, pp. 177–177, DOI:10.1038/d41586-020-00998-2. URL consultato il 15 luglio 2025.
  19. ^ (EN) Taylor Dupuy, IUT overview: What papers are involved? Where does it start?, 17 dicembre 2015. URL consultato il 15 luglio 2025.
  20. ^ (EN) Taylor Dupuy, Hodge Theaters: Confused Groups and Torsors, 13 luglio 2016. URL consultato il 15 luglio 2025.
  21. ^ (EN) Taylor Dupuy, IUT3, Corollary 3.12: Spaces, Pilot Objects, Indeterminacies, Mochizuki Measures, 16 gennaio 2019. URL consultato il 15 luglio 2025.
  22. ^ (EN) Peter Scholze e Jakob Stix, Why abc is still a conjecture (PDF), 16 luglio 2018.
  23. ^ (EN) Shin'ichi Mochizuki, Comments on the Manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmuller Theory (IUTCH) (PDF), Kyoto, luglio 2018.
  24. ^ (EN) Peter Scholze, Why the Szpiro Conjecture is Still a Conjecture (PDF).
  25. ^ (EN) Taylor Dupuy e Anton Hilado, The Statement of Mochizuki's Corollary 3.12: Initial Theta Data, 19 giugno 2025, DOI:10.48550/arXiv.2004.13228. URL consultato il 15 luglio 2025.
  26. ^ (EN) K-Theory, Math Talk! Taylor Dupuy, professor of mathematics, (differential) algebraic geometry and IUTT., 14 giugno 2022. URL consultato il 15 luglio 2025.
  27. ^ Sara Carmignani, Chi riesce a verificare questa teoria matematica riceverà un milione di dollari, su Wired Italia, 13 luglio 2023. URL consultato il 15 luglio 2025.
  28. ^ (EN) Establishment of International Award for IUT Theory and First IUGC Conference on IUT Theory, su ZEN大学, 7 luglio 2023. URL consultato il 15 luglio 2025.
  29. ^ (EN) 1st IUT innovator award winning paper decidedIUGC (Inter-universal Geometry Center) awarded US$100,000, su ZEN大学, 2 aprile 2024. URL consultato il 15 luglio 2025.
  30. ^ (EN) Kirti Joshi, Construction of Arithmetic Teichmuller Spaces I, 24 febbraio 2025, DOI:10.48550/arXiv.2106.11452. URL consultato il 15 luglio 2025.
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