Funzione differenziabile

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Il concetto di funzione differenziabile è il concetto su cui si fondano l'analisi matematica e la geometria differenziale.

L'idea è quella di una funzione tale che se si fa uno zoom a scale sempre più piccole del grafico della funzione nelle vicinanze di qualsiasi punto la funzione tende a somigliare sempre più ad una trasformazione affine ed il grafico ad un iperpiano affine. Più precisamente quello che si richiede ad una funzione per essere differenziabile è di essere approssimabile nell'intorno di ogni punto con una funzione lineare. La differenziabilità di una funzione da la possibilità di definire un iperpiano tangente ad ogni punto del suo grafico.

Definizione

Una funzione

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 

è differenziabile in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  se esiste una applicazione lineare

${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 

(dipendente dal punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ) tale che

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}=\mathbf {0} }$ 

(i caratteri in grassetto rappresentano vettori); in questo caso l'applicazione ${\displaystyle A}$  si indica con la scrittura ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  e si chiama differenziale di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ .

La matrice che rappresenta ${\displaystyle DF(\mathbf {x} _{0})}$  viene chiamata matrice jacobiana di ${\displaystyle F}$  in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ .

Osservazioni

Abbiamo detto che una funzione differenziabile intuitivamente dovrebbe essere tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. Tuttavia ciò non sembra evidente dalla definizione che abbiamo dato. Vediamo come sia possibile formalizzare quest'idea intuitiva e dimostrare che coincide (se ci si lavora un po') con la definizione di differenziabilità.

Possiamo immaginare ora che la trasformazione affine con cui potremmo approssimare ${\displaystyle F}$  in un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è la funzione

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto F(\mathbf {x} _{0})+DF(\mathbf {x} _{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})}$ .

Consideriamo un intorno di ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  di raggio ${\displaystyle \delta }$ . Quando ingrandiamo il grafico di ${\displaystyle F}$  in modo che l'intorno ci appaia di raggio ${\displaystyle 1}$  la distanza che vediamo tra la funzione ${\displaystyle F}$  e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} }$  è pari a

${\displaystyle {\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}}$ 

dove la divisione per ${\displaystyle \delta }$  corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è

${\displaystyle \sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}}$ ,

ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione che abbiamo dato per la differeziabilità di ${\displaystyle F}$  si deduce che

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\sup _{\left\|\mathbf {h} \right\|\leq \delta }{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-DF(\mathbf {x} _{0})\mathbf {h} }{\delta }}=0}$ ,

il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di ${\displaystyle F}$  e della sua approssimazione affine intorno a ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di ${\displaystyle F}$ .

Differenziabilità e continuità

Una funzione differenziabile in un punto ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$  è automaticamente continua in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ . Infatti

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})=\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}{\frac {F(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-F(\mathbf {x} _{0})-A\mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix}}}+{A\mathbf {h} }=\mathbf {0} }$ 

per la continuità delle funzioni lineari.