Utente:Cicognac/Sandbox/9
La geometria anabeliana è una branca della geometria aritmetica che studia gli oggetti geometrici dal punto di vista dei gruppi fondamentali aritmetici. In altre parole, la geometria anabeliana discute quanta informazione intorno agli oggetti geometrici è contenuta nei loro gruppi fondamentali aritmetici[1] (e.g., il gruppo fondamentale étale, dove "étale" significa "immobile").
Classificazione
La geometria algebrica, utilizza le strutture dell'algebra astratta per risolvere problemi di geometria. Tipicamente, studia le varietà algebriche, cioè l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali (sui numeri reali o complessi); degli esempi sono le rette, cerchi, ellissi, iperboli e curve cubiche (e.g., le curve ellittiche).
All'interno dell'algebra astratta sono compresi vari sotto-campi e specializzazioni: la geometria algebrica reale (lo studio delle varietà algebriche reali), la teoria della singolarità (studio delle singolarità delle varietà algebriche), la geometria algebrica computazionale (costruzione di algoritmi e software informatici per studiare le proprietà delle varietà algebriche) e la geometria aritmetica (studio delle varietà algebriche su campi non algebricamente chiusi e campi particolari come campi di numeri razionali, campi numerici, campi di funzione e campi p-adici; un suo filone di studio è quello sulle equazioni diofantee).
Nella geometria aritmetica, è racchiusa la geometria anabeliana, che dunque si focalizza sui su quanta informazione intorno agli oggetti geometrici è contenuta nei loro gruppi fondamentali aritmetici. Un esempio concreto è quanta informazione sulla classe di isomorfismo di una varietà X è contenuta nel suo gruppo fondamentale étale.
Approcci
La geometria anabeliana studia l'informazione contenuta nei gruppi fondamentali aritmetici degli oggetti geometrici secondo tre approcci diversi.
Geometria bi-anabeliana (approccio classico)
Il primo approccio è quello classico, che dunque è alla base della geometria anabeliana classica o "geometria bi-anabeliana": in questo approccio, dati due oggetti geometrici, viene effettuato un paragone tra loro attraverso un insieme di morfismi tra loro e un insieme di omomorfismi tra i gruppi fondamentali étale. Un morfismo tra oggetti geometrici particolarmente studiato è l'isomorfismo. Nelle discussioni di geometria anabeliana classica, il termine "...appartenente alla teoria dei gruppi" (group-theoretic...), per esteso, significa "preservato da un isomorfismo arbitrario tra i due gruppi fondamentali aritmetici in considerazione" (preserved by an arbitrary isomorphism between the arithmetic fundamental groups under consideration).[1]
La geometria anabeliana classica ha ottenuto i primi risultati su campi numerici e i loro gruppi Galois assoluti grazie agli studi di Jürgen Neukirch, Masatoshi Gündüz Ikeda, Kenkichi Iwasawa, Kôji Uchida (teorema di Neukirch-Uchida, 1969) e alle congetture di Alexander Grothendieck in Esquisse d'un Programme ("Schizzo di un programma"). Una di esse, la congettura anabeliana di Grothendieck, è stata dimostrata per le curve affini da Hiroaki Nakamura e Akio Tamagawa e dimostrata completamente da Shin'ichi Mochizuki usando la teoria di Hodge p-adica, dunque una versione particolare della teoria di Hodge.
Geometria anabeliana combinatorica
La geometria anabeliana combinatorica è un approccio che tenta la ricostruzione di oggetti appartenenti alla teoria degli schemi e alla teoria degli anelli da dati combinatorici più semplici/primitivi. I risultati di questo approccio sono stati applicati da Mochizuki a curve iperboliche su campi algebricamente chiusi e a nuove dimostrazioni di casi particolari della congettura anabeliana di Grothendieck senza usare la teoria di Hodge p-adica. Inoltre Yuichiro Hoshi, studente di Mochizuki, ha esteso i risultati della geometria anabeliana combinatorica alle curve iperboliche. I risultati sono applicabili allo studio del gruppo Grothendieck-Teichmüller (gruppo GT), un gruppo particolare in teoria dei gruppi che è strettamente correlato al gruppo di Galois assoluto dei numeri razionali, e allo studio dei campi locali a caratteristiche miste.
Il fondatore di questo approccio è Mochizuki attraverso gli articoli A combinatorial version of the Grothendieck conjecture (2007) e On the combinatorial cuspidalization of hyperbolic curves (2010). Altri grandi contributi sono venuti da una serie di 4 articoli di Yuichiro Hoshi, Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves (2012-2013).
Geometria mono-anabeliana assoluta
La geometria mono-anabeliana assoluta invece è un approccio che è capace di ricostruire alcune le curve iperboliche strettamente di tipo Belyi su campi numerici e campi locali dal suo gruppo algebrico fondamentale. La ricostruzione della curva avviene fino all'isomorfismo; due gruppi citati sono il gruppo algebrico fondamentale étale e il gruppo fondamentale di una vasta classe di curve ellittiche perforate (punctured, cioè a cui è stato tolto un punto) su campi numerici.
Dato un oggetto geometrico che è oggetto di studio, questo approccio si basa su algoritmi di teoria dei gruppi (group-theoretic algorithms) i cui dati in input sono un singolo gruppo topologico astratto che è isomorfo al gruppo fondamentale aritmetico dell'oggetto geometrico.[1]
Pertanto, gran parte dello studio e ricerca si svolge sulla costruzione di questi "algoritmi di ricostruzione mono-abeliani"; tali algoritmi hanno il punto di forza di funzionare senza menzionare le copie di oggetti geometrici come modello fisso di riferimento. "Group-theoretic" riferito agli algoritmi, nella geometria mono-anabeliana assoluta, significa che essi sono elaborati in un linguaggio che dipende solo dalla struttura del gruppo topologico del gruppo fondamentale aritmetico in considerazione.[1]
Il matematico che ha posto le basi della geometria mono-anabeliana assoluta è Shin'ichi Mochizuki con una serie di ricerche e pubblicazioni svolte tra il 2000 e il 2015. In particolare, tre articoli fondamentali sono Topics in Absolute Anabelian Geometry I (2008), II (2008) e III (2015); questi articoli, insieme agli altri articoli di Mochizuki, vengono ripubblicati periodicamente con emendamenti.
Teoria di Teichmüller inter-universale
Svariati risultati della geometria mono-anabeliana assoluta, insieme a una vasta serie di branche della matematica avanzate applicate in contesto astratto, sono alla base della teoria di Teichmüller inter-universale (IUT) o "teoria della deformazione aritmetica", una teoria contenente un algoritmo di ricostruzione sviluppata da Shin'ichi Mochizuki tra il 2008 e il 2012 e pubblicata in 4 grossi articoli il 30 agosto 2012. La teoria IUT appartiene alla geometria mono-anabeliana assoluta e, nel nome, cita la teoria di Teichmüller classica, che è una teoria sulle deformazioni delle superfici di Riemann, dunque superfici complesse, nello spazio di Teichmüller; di tale teoria, esiste anche una versione p-adica.
La IUT tenta di lavorare sugli oggetti geometrici separando il gruppo di simmetria additiva e moltiplicativa con un'operazione detta "distacco di Kummer multiradiale" basato su un algoritmo multiradiale; i due gruppi sono dunque separati in due "mondi/universi/ambienti" diversi (detti "teatri di Hodge") per poi essere oggetto di complessi calcoli sincronizzati. A seguito della ricostruzione dell'oggetto in un singolo teatro di Hodge, che non avviene in modo perfetto per la presenza naturale di indeterminatezze/perdite di informazioni/deformazioni, si calcola il volume di tali indeterminatezze per costruirvi delle disequazioni. Queste disequazioni vengono usate per provare risultati in teoria dei numeri, come ad esempio la congettura abc, la congettura di Szpiro, la congettura di Vojta e le versioni generalizzate dell'ultimo teorema di Fermat.
La IUT è oggetto di controversia nella comunità matematica in merito alla sua effettiva correttezza; la controversia è aggravata dalla lunghezza e dalla difficoltà enorme della teoria. La stessa geometria anabeliana classica, dunque l'approccio da cui prende le distanze l'approccio mono-anabeliano, in partenza è un argomento tipicamente affrontato nei dottorati di ricerca.
Note
- ^ a b c d (EN) Yuichiro Hoshi, Introduction to Mono-Anabelian Geometry (PDF), gennaio 2018.
