Codice di Barker

Un codice di Barker (in lingua inglese Barker Code), detto anche sequenza di Barker, è una sequenza finita di valori interi ±1 la cui funzione di autocorrelazione al di fuori del valore di picco è la più piccola possibile.^[1] Questa codifica trova applicazione nel campo dei radar, della telemetria e delle reti wireless ed è stata definita nel 1953 da Ronald Hugh Barker, da cui prende il nome.^[2]

Definizione

 

Rappresentazione grafica di un codice di Barker ${\displaystyle N}$ =7

 

Funzione di autocorrelazione di un codice di Barker ${\displaystyle N}$ =7

Un codice di Barker è una sequenza finita di ${\displaystyle N}$  valori +1 e -1, definita formalmente come:

${\displaystyle a_{j}=\pm 1}$  con ${\displaystyle j=1,2,...,N}$ 

caratterizzata da una funzione di autocorrelazione tale per cui i coefficienti di autocorrelazione al di fuori del picco

${\displaystyle c_{v}=\sum _{j=1}^{N-v}a_{j}a_{j+v}}$ 

siano i più piccoli possibili, soddisfacendo alla relazione:

${\displaystyle |c_{v}|\leq 1\,}$ 

per tutti gli elementi ${\displaystyle 1\leq v<N}$ .^[2]

In base a questa definizione, la funzione di autocorrelazione presenta il suo picco in corrispondenza del valore ${\displaystyle N}$ .

Sono note solo nove sequenze di Barker^[3] di lunghezza massima ${\displaystyle N=13}$ .^[1] È stato dimostrato che non esistono altre sequenze con un valore di lunghezza ${\displaystyle N}$  dispari,^[4] né sequenze con valore di lunghezza ${\displaystyle N}$  pari inferiore a 10²².^[5]

Nel suo documento del 1953, Barker analizzò anche le sequenze che obbediscono alla condizione più stringente:

${\displaystyle c_{v}\in \{-1,0\}}$ 

Di queste ultime, sono note solo quattro, evidenziate in grassetto nella tabella seguente che riporta tutte le sequenze conosciute.

Codici di Barker noti^[6]

Lunghezza	Sequenza
2	+1 −1	+1 +1
3	+1 +1 −1
4	+1 +1 −1 +1	+1 +1 +1 −1
5	+1 +1 +1 −1 +1
7	+1 +1 +1 −1 −1 +1 −1
11	+1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −1
13	+1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1

Note

1. (EN) Peter Borwein e Michael J. Mossinghoff, Barker sequences and flat polynomials, in James McKee e Chris Smyth (a cura di), Number Theory and Polynomials, LMS Lecture Notes, vol. 352, Cambridge University Press, 2008, pp. 71–88, DOI:10.1017/CBO9780511721274.007, ISBN 978-0-521-71467-9.
2. (EN) Ronald Hugh Barker, Group Synchronizing of Binary Digital Systems, in Communication Theory, Londra, Butterworth, 1953, pp. 273–287.
3. ^ (EN) Sloane, N.J.A. (a cura di), Sequence A091704, in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.
4. ^ (EN) Turyn e Storer, On binary sequences, in Proceedings of the AMS, vol. 12, 1961, pp. 394–399.
5. ^ (EN) Leung, K. e and Schmidt, B., The Field Descent Method, in Design, Codes and Cryptography, vol. 36, pp. 171–188.
6. ^ Rispettano la condizione anche le stesse sequenze con i valori a segno invertito e/o in ordine inverso, che non sono riportate per semplicità

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Barker Code, su MathWorld, Wolfram Research.  

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