Limite di una funzione

Limite di funzioni da R a R

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}$ , per poi espanderla a casi più generali.

Definizione

Quindi iniziamo con una funzione ${\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}$ , dove ${\displaystyle X\,\!}$  è il suo dominio e ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$  la sua immagine. Sia ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  un punto di accumulazione di ${\displaystyle X\,\!}$ . Ora facciamo tendere ${\displaystyle x\,\!}$  a ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  (${\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}$ ), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  con la proprietà di contenere infiniti punti di ${\displaystyle X\,\!}$  (questo è garantito dal fatto che ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}$ . Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se ${\displaystyle P\,\!}$  è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista, ${\displaystyle P\,\!}$  per ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}$ , se esiste un intorno di ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  che possiede ${\displaystyle P\,\!}$ .

Ora possiamo dare la definizione di limite:

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Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}$  (insieme numeri reali esteso), che è definito come:

${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace \,\!}$ 

dove ${\displaystyle -\infty \,\!}$  e ${\displaystyle +\infty \,\!}$  non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}$  sia un insieme ordinato, decidiamo che:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x<+\infty \,\!}$ 

La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da ${\displaystyle x_{0}\,\!}$  e da ${\displaystyle l\,\!}$ .

• Per ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta =\delta (l)>0\ :\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l|f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}}$ 

• Per ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,l=\infty }$ :

${\displaystyle \forall k>0,\exists \delta =\delta (l)>0\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}}$ 

• Per ${\displaystyle x_{0}=\infty \ l\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=l\ |f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cup {x:x>N(\epsilon )}-x_{0}}$ .

• Per ${\displaystyle x_{0}=\infty \ l=\infty }$ :

${\displaystyle \forall k>0\ \exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cup (x:x>N(\epsilon ))}$ .

Se il limite di una funzione è il seguente ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=0}$  la funzione si dice infinitesima.

Se il limite di una funzione è il seguente ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }$  la funzione si dice infinita.

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Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

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Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:

${\displaystyle lim_{x\to x_{0}^{+}}\,\!}$  e ${\displaystyle lim_{x\to x_{0}^{-}}\,\!}$ 

La definizione sarà:

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Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

${\displaystyle lim_{x\to x_{0}}f(x)=l^{+}\,\!}$  e ${\displaystyle lim_{x\to x_{0}}f(x)=l^{-}\,\!}$ 

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema di unicità

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Teorema di limitatezza locale

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Teorema di esistenza del limite

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Teorema della permanenza del segno

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Corollari

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Teorema del confronto

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Calcolo dei limiti

Teoremi

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

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È evidente la validità dei teoremi per valori di ${\displaystyle \mathbb {R} \!}$  (numeri reali), invece per elementi appartenenti a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\!}$  (in particolare per i casi ${\displaystyle \pm \infty \!}$ ) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

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Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

• ${\displaystyle l\cdot \pm \infty =\pm \infty \!}$ 
• ${\displaystyle \pm \infty +l=\pm \infty \!}$ 
• ${\displaystyle +\infty +\infty =+\infty \!}$ 
• ${\displaystyle +\infty \cdot \pm \infty =\pm \infty \!}$  (seguendo la regola dei segni convenzionale)
• ${\displaystyle {\frac {l}{\pm \infty }}=0^{\pm }\!}$ 

Casi mancanti all'elenco precendete conducono ad espressioni del tipo:

• ${\displaystyle +\infty -\infty \!}$ 
• ${\displaystyle 0\cdot \pm \infty \!}$ 
• ${\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\!}$ 
• ${\displaystyle {\frac {0}{0}}\!}$ 

Per questi casi si rimanda alla sezione successiva: Forme di indecisione.

Forme di indecisione

Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.

Limite di funzioni da Rⁿ a R^m

Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.

Definizione

Cominciamo subito dando la definizione per funzioni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} \!}$ :

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Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite

${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\!}$ 

ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima ${\displaystyle y=0\!}$ :

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=\lim _{x\to 0}1=1\!}$ 

invece, ora avvicinandoci da ${\displaystyle x=0\!}$ :

${\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=\lim _{x\to 0}0=0\!}$ 

Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione, ma la definizione non ci dice nulla a riguardo, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.

Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}\!}$ :

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Per facilitarne la comprensione si osservi che, se ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots f_{m}\,\!}$  sono le componenti di ${\displaystyle {\mathbf {f}}\,\!}$  la scrittura ${\displaystyle \lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}{\mathbf {f}}({\mathbf {x}})={\mathbf {l}}\,\!}$  è equivalente a:

${\displaystyle \lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}f_{1}({\mathbf {x}})=l_{1}\!}$

${\displaystyle \vdots \!}$

${\displaystyle \lim _{{\mathbf {x}}\to {\mathbf {x_{0}}}}f_{m}({\mathbf {x}})=l_{m}\!}$

Infine facciamo notare che le funzioni del tipo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\!}$  sono particolarmente interessanti perché possono essere definite come funzioni ${\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \!}$ .

Consideriamo ${\displaystyle w=u+iv,\,z=x+iy\!}$  e ${\displaystyle w=f(z)\!}$  otteniamo:

${\displaystyle f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\!}$ 

Calcolo dei limiti

Riferimenti

Bibliografia

• (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964

Voci correlate

• Dimostrazioni: dimostrazioni dei teoremi.

• Esempi: esempi di applicazioni dei concetti espressi nell'articolo.

• Limite di una successione
• Funzione continua
• Derivata
• Funzione derivabile

Collegamenti esterni

• Limite in MathWorld