Errore di primo tipo

L'errore di primo tipo (detto pure errore alfa) è una variabile che si utilizza in statistica. Nella verifica di ipotesi statistiche è necessario tener conto della possibilità di commettere errori legati all’accettazione o al rifiuto di ipotesi. L'errore di primo tipo è quello che si fa rifiutando la cosiddetta ipotesi nulla quando questa in realtà è vera (falso positivo). Più in generale i casi che si possono presentare sono riassunti nella seguente tabella:

	${\displaystyle H_{0}}$ vera	${\displaystyle H_{0}}$ falsa
accetto ${\displaystyle H_{0}}$	decisione giusta	errore di II tipo(β)
rifiuto ${\displaystyle H_{0}}$	errore di I tipo (α)	decisione giusta

Si definisce errore di I tipo l’errore che si commette rifiutando l’ipotesi nulla ${\displaystyle H_{0}}$ quando essa è vera nella realtà. Si indica con α la probabilità di commettere un errore di I tipo; i valori più frequentemente impiegati per α sono 0,05 oppure 0,01.

α =Pr (errore di I tipo) =Pr ( rifiutare ${\displaystyle H_{0}}$ | ${\displaystyle H_{0}}$ vera ) =Pr ((${\displaystyle x_{1}}$,...${\displaystyle x_{n}}$)∈ R| ${\displaystyle H_{0}}$ vera )

dove (${\displaystyle x_{1}}$,...${\displaystyle x_{n}}$) rappresenta un campione casuale ed R rappresenta la regione critica, cioè l’insieme dei valori dello spazio campionario che portano al rifiuto dell’ipotesi nulla ${\displaystyle H_{0}}$.

Esempio: data la variabile aleatoria X ≡ N (μ;2), calcoliamo il valore di α per il seguente sistema di ipotesi:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}H_{0}&\mu ={\mbox{ 18}}\\H_{1}&\mu ={\mbox{ 19}}\end{matrix}}\right.}$

Dato il campione (${\displaystyle x_{1}}$,...${\displaystyle x_{n}}$), l’ipotesi ${\displaystyle H_{0}}$ verrà rifiutata se

${\displaystyle {\overline {x}}}$ > k;

e verrà accettata in caso contrario, cioè se

${\displaystyle {\overline {x}}}$ <= k.

In questo caso risulta

R = { (${\displaystyle x_{1}}$,...${\displaystyle x_{n}}$ ) | ${\displaystyle {\overline {x}}}$ > k },

perciò

α = Pr (errore di I tipo) = Pr ( rifiutare ${\displaystyle H_{0}}$ | ${\displaystyle H_{0}}$ vera ) = Pr ((${\displaystyle x_{1}}$,...${\displaystyle x_{n}}$ ) ∈ R | ${\displaystyle H_{0}}$ vera ) =

Pr ( ${\displaystyle {\overline {x}}}$ > k | μ = 18) = Pr ( N (18,2/${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ )${\displaystyle {\overline {x}}}$ > k)

Supponendo che n = 100 e che

${\displaystyle {\overline {x}}}$ = 18,6

risulta

α = Pr ( ${\displaystyle {\overline {x}}}$ > 18,6 | μ = 18) = Pr ( N (18,2/10) > 18,6) = Pr ( Z > 0,6 * 10 / 2) = Pr (Z > 3 ) = 0,0013

dove Z ≡ N (0,1). In questo caso il livello critico per il campione considerato, cioè il minor livello di significatività per il quale si rifiuta l’ipotesi nulla, è 0.0013.

La gravità dei due tipi di errore dipende dalla definizione delle ipotesi (ipotesi nulla e ipotesi alternativa). La situazione ideale sarebbe minimizzare entrambe le probabilità associate ai due tipi di errori ma questo è nella pratica difficilmente attuabile, l’unica possibilità è aumentare la dimensione del campione ma questo non sempre è possibile. La cosa migliore da fare è dunque minimizzare l’errore più importante (che come abbiamo detto sopra dipende da come sono state definite le ipotesi) cercando di tenere costante l’altro tipo di errore.

Voci correlate

• Errore di secondo tipo