Moto circolare

Il moto circolare è uno dei moti semplici studiati dalla cinematica, e consiste in un moto , di un punto materiale, lungo una circonferenza.

Il moto circolare assume importanza per il fatto che la velocità e l'accelerazione variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento si può misurare comodamente usando le misure angolari per cui le formule del moto, introdotte con il moto rettilineo, vanno riviste e rielaborate con misure angolari.

La retta passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di asse di rotazione. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'isotropia e omogeneità dello spazio.

Il moto in coordinate cartesiane e polari

 

Rappresentazione bidimensionale di un moto circolare. Si è rappresentati con s l'ascissa curvilinea, con R il raggio del cerchio e con v velocità istantanea del punto.

Il sistema più comodo per analizzare un moto circolare fa uso delle coordinate polari. Infatti nel caso particolare di movimento che avviene su di una circonferenza di raggio R, il moto in coordinate polari diventa:

${\displaystyle \rho (t)=R\qquad }$ 

${\displaystyle {\vec {\theta }}(t)\qquad }$ 

mentre in coordinate cartesiane si ha:

${\displaystyle x(t)=R\cdot \cos \theta (t)}$ 

${\displaystyle y(t)=R\cdot \mathrm {sen\,} \theta (t)}$ 

che soddisfano la seguente identità (in ogni istante di tempo):

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}\,\!}$ 

Velocità

 

Rappresentazione tridimesionale di un moto circolare.

Nel moto circolare si possono definire due diverse tipologie di velocità, la velocità angolare e la velocità tangenziale.

Per descriverle consideriamo nello spazio tridimensionale, il vettore infinitesimo

${\displaystyle d{\vec {\theta }}={\vec {k}}\cdot d\theta }$ 

dove ${\displaystyle {\vec {k}}}$  è un versore disposto lungo l'asse di rotazione e ${\displaystyle d\theta }$  la variazione infinitesima della variabile angolare ${\displaystyle \theta }$ .

Sia ora ${\displaystyle {\vec {R}}}$  il vettore posizione del punto P, allora lo spostamento lineare ${\displaystyle d{\vec {R}}(t)}$ del punto P sull'arco di circonferenza percorso nel tempo dt sarà legata allo spostamento angolare ${\displaystyle d{\vec {\theta }}}$  dal prodotto vettoriale:

${\displaystyle d{\vec {R}}(t)=d{\vec {\theta }}\times {\vec {R}}(t)}$ .

La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore ${\displaystyle {\vec {\theta }}(t)}$  e comunemente indicata con ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ 

${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)={\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}}$ 

ed è una misura della velocità di variazione dell'angolo formato dal vettore posizione, si misura in radianti al secondo: ${\displaystyle \left[{\frac {rad}{s}}\right]}$  ed ha la stessa direzione del vettore spostamento angolare.

La velocità lineare (o tangenziale) si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione ${\displaystyle {\vec {R}}}$ :

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}}$ 

ed è legata alla velocità angolare dalla seguente relazione (per approfondire si veda anche derivata di un vettore):

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\frac {d{\vec {\theta }}\times {\vec {R}}(t)}{dt}}={\frac {d{\vec {\theta }}}{dt}}\times {\vec {R}}(t)={\vec {\omega }}\times {\vec {R}}(t)}$ 

Si nota che la costanza della velocità angolare implica la costanza del modulo della velocità.

Se si esegue il prodotto scalare dei due vettori ${\displaystyle {\vec {R}}(t)}$  e ${\displaystyle {\vec {v}}(t)}$  si ottiene zero per ogni istante di tempo t, e questo dimostra che la velocità tangenziale è sempre ortogonale al raggio vettore ${\displaystyle {\vec {R}}(t)}$ .

Accelerazione

File:Accelerazione circolare.png

Derivando rispetto al tempo l'espressione del vettore velocità tangenziale otteniamo l'accelerazione; che ha una componente parallela alla velocità (responsabile della variazione del modulo di questa) ed una normale (o radiale): si tratta rispettivamente dell'accelerazione tangenziale e dell'accelerazione centripeta:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\frac {d}{dt}}\left[{\vec {\omega }}\times {\vec {R}}(t)\right]={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {R}}(t)+{\vec {\omega }}\times {\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}}$ 

La prima frazione si chiama accelerazione angolare di solito indicata con ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$  oppure ${\displaystyle {\vec {\dot {\omega }}}(t)}$ , si misura in ${\displaystyle \left[{\frac {rad}{s^{2}}}\right]}$ , fornisce la variazione della velocità angolare ed ha stessa direzione di questa.

Sviluppando la relazione precedente otteniamo:

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\vec {\dot {\omega }}}(t)\times {\vec {R}}-\omega ^{2}\cdot {\vec {R}}(t)={\vec {a_{\tau }}}+{\vec {a_{n}}}}$ 

dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocità lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocità lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza.

Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo

${\displaystyle |{\vec {a_{n}}}|=\omega ^{2}R={v^{2}(t) \over R}}$ 

e una tangenziale di modulo

${\displaystyle |{\vec {a_{\tau }}}|=R{\ddot {\theta }}(t)}$ .

Moto circolare uniforme

Se il moto circolare è uniforme significa che è costante il vettore velocità angolare, cioè si ha velocità lineare costante in modulo. Integrando la ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)\cdot dt=d{\vec {\theta }}}$  tra i due tempi ${\displaystyle t_{0}}$  e ${\displaystyle t}$  iniziale e finale corrispondenti ad un angolo iniziale ${\displaystyle \theta _{0}}$  e ${\displaystyle \theta }$ :

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega t}$ 

essendo ${\displaystyle \omega }$  la velocità angolare costante.

Ne consegue (dalle equazioni viste alla sezione precedente) che la velocità tangenziale ha modulo costante pari a:

${\displaystyle v(t)={\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}=R\cdot \omega }$ 

e dal momento che essa vettorialmente varia solo in direzione, l'accelerazione ha solo componente radiale (accelerazione centripeta):

${\displaystyle {\vec {a}}_{n}=-\omega ^{2}R\cdot {\vec {n}}=-{\frac {v^{2}}{R}}\cdot {\vec {n}}}$ 

Moto circolare uniformemente accelerato

Se il moto circolare è uniformemente accelerato significa che l'accelerazione angolare è costante. Integrando l'accelerazione angolare ${\displaystyle \alpha \cdot dt=d\omega }$  tra due istanti di tempo ${\displaystyle t_{0}}$  e ${\displaystyle t}$  corrispondenti alle due velocità angolari iniziale e finale ${\displaystyle \omega _{0}}$  e ${\displaystyle \omega }$ :

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\alpha \cdot dt=\int _{\omega _{0}}^{\omega }\operatorname {\omega } (t)\,\Longrightarrow \,\omega (t)=\omega _{0}+\alpha t}$ 

Integrando la relazione ${\displaystyle d\theta =\omega \cdot dt}$  tra due istanti di tempo iniziale e finale ${\displaystyle t_{0}}$  e ${\displaystyle t}$  e sostituendo a ${\displaystyle \omega (t)}$  il valore trovato sopra, possiamo ricavare lo spostamento angolare ${\displaystyle \theta (t)}$ :

${\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta }d\theta =\int _{t_{0}}^{t}\omega (t)\cdot dt=\int _{t_{0}}^{t}(\omega _{0}+\alpha \cdot t)\cdot dt=\int _{t_{0}}^{t}\omega _{0}\cdot dt+\int _{t_{0}}^{t}\alpha \cdot t\cdot dt\,\Longrightarrow \,\theta (t)=\theta _{0}+\omega \cdot t+{\frac {1}{2}}\alpha \cdot t^{2}}$ 

Rappresentazione dei vettori posizione, velocità e accelerazione

Per una rappresentazione vettoriale delle grandezze cinematiche relative al moto circolare, è opportuno introdurre i versori tangente e normale alla traiettoria, che sono definiti nel modo seguente (il versore normale punta verso l'interno):

${\displaystyle {\hat {\tau }}=\left({\begin{matrix}-\,\mathrm {sen\,} \theta \\\cos \theta \end{matrix}}\right)}$ 

${\displaystyle {\hat {n}}=\left({\begin{matrix}-\cos \theta \\-\,\mathrm {sen\,} \theta \end{matrix}}\right)}$ 

Tenendo conto delle regole di derivazione, le derivate di questi versori rispetto al tempo sono date da

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\hat {\tau }}}{\operatorname {d} t}}=\left({\begin{matrix}-\cos \theta \\-\,\mathrm {sen\,} \theta \end{matrix}}\right)={\dot {\theta }}{\hat {n}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\hat {n}}}{\operatorname {d} t}}=\left({\begin{matrix}\,\mathrm {sen\,} \theta \\-\cos \theta \end{matrix}}\right)=-{\dot {\theta }}{\hat {\tau }}}$ 

Possiamo quindi esprimere i vettori posizione, velocità e accelerazione usando i versori ${\displaystyle {\hat {\tau }}}$  e ${\displaystyle {\hat {n}}}$ :

• Posizione. Il vettore posizione è sempre diretto radialmente:

${\displaystyle {\vec {r}}=-R{\hat {n}}}$ 

• Velocità. Il vettore velocità è sempre diretto tangenzialmente (la derivata di R rispetto al tempo è nulla)

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\operatorname {d} {\vec {r}}}{\operatorname {d} t}}=R\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\tau }}}$ 

La velocità radiale risulta quindi nulla, :${\displaystyle v_{\rho }={\dot {\rho }}=0}$ 

La velocità tangenziale è :${\displaystyle v_{\theta }=R\,{\dot {\theta }}}$ 

La velocità angolare è ${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega }$ 

• Accelerazione. Il vettore accelerazione ha una componente tangente ed una normale:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\operatorname {d} {\vec {v}}}{\operatorname {d} t}}=R\,{\ddot {\theta }}\,{\hat {\tau }}+R\,{\dot {\theta }}^{2}\,{\hat {n}}}$ 

L'accelerazione radiale, detta anche accelerazione centripeta è :${\displaystyle a_{\rho }=R\,{\dot {\theta }}^{2}}$ 

L'accelerazione tangenziale o trasversa è :${\displaystyle a_{\theta }=R\,{\ddot {\theta }}}$ 

Nel moto circolare uniforme l'accelerazione tangenziale è nulla.

Infine si possono scrivere le componenti del vettore velocità in coordinate cartesiane:

${\displaystyle {\dot {x}}=-R\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen\,} \,\theta =-{\dot {\theta }}\,y}$ 

${\displaystyle {\dot {y}}=R\,{\dot {\theta }}\,\cos \,\theta =\,{\dot {\theta }}\,x}$ 

Introdotto il vettore velocità angolare, di modulo ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ , con direzione perpendicolare al piano del moto e con verso tale da vedere ruotare il corpo in senso antiorario,

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\left({\begin{matrix}0\\0\\{\dot {\theta }}\end{matrix}}\right)}$ 

il vettore velocità può semplicemente essere scritto come:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$ 

Voci correlate

• Moto rettilineo
• Moto armonico

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