Utente:Luca Antonelli/Sandbox01

Nella teoria degli ordini, un isomorfismo d'ordine, o isotonia, è una funzione biettiva tra insiemi parzialmente ordinati, che ha la caratteristica di conservare nel codominio le relazioni d'ordine definite nel dominio. Un isomorfismo d'ordine può quindi essere considerato come una estensione del concetto di funzione monotona al di fuori dei comuni domini numerici.

Come per gli altri isomorfismi, un isomorfismo d'ordine stabilisce una relazione di equivalenza tra due insiemi ordinati, che in questo modo fanno riferimento ad una medesima struttura d'ordine, in quanto ogni elemento di un insieme può diventa interscambiabile con il suo corrispondente, senza alterare le relazioni d'ordine esistenti.

Definizione formale

Dati due insiemi parzialmente ordinati ${\displaystyle \left(S,\leq _{S}\right)}$  e ${\displaystyle \left(T,\leq _{T}\right)}$ , una funzione ${\displaystyle f:S\rightarrow T}$  è detta isomorfismo d'ordine se è suriettiva e se vale la seguente relazione:

${\displaystyle \forall s_{1},s_{2}\in S,\quad s_{1}\leq _{S}s_{2}\Leftrightarrow f(s_{1})\leq _{T}f(s_{2})}$ 

Un isomorfismo d'ordine si può quindi definire come una immersione d'ordine suriettiva. È da notare che nella definizione data è implicita la biettività della funzione; infatti, se ${\displaystyle f(s_{1})=f(s_{2})}$  valgono entrambe le relazioni ${\displaystyle f(s_{1})\leq _{T}f(s_{2})}$  e ${\displaystyle f(s_{2})\leq _{T}f(s_{1})}$ , da cui seguono ${\displaystyle s_{1}\leq _{S}s_{2}}$  e ${\displaystyle s_{2}\leq _{S}s_{1}}$ , ovvero ${\displaystyle s_{!}=s_{2}}$ , da cui segue che la funzione è iniettiva. Segue che si può definire un isomorfismo d'ordine come una funzione monotona dotata di funzione inversa anch'essa monotona.

Automorfismo d'ordine

Un isomorfismo d'ordine da un insieme parzialmente ordinato a se stesso è detto automorfismo d'ordine. Oltre all'automorfismo banale costituito dalla identità insiemistica, in generale è possibile costruire numerosi automorfismi in un insieme; ad esempio, nell'insieme dei numeri reali ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,\leq \right)}$ , dotati dell'usuale ordinamento, sono automorfismi d'ordine le traslazioni e le moltiplicazioni per numeri positivi (corrispondenti a delle dilatazioni):

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x+a\\g:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &bx,\end{matrix}}}$ 

dove ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$ .

Le proprietà di automorfismo d'ordine di queste operazioni sono utilizzate ad esempio nella risoluzione delle disequazioni.

Tipo d'ordine

recuperare da en + legame con i numero ordinali

Teoria delle categorie

TODO

Voci correlate

• Immersione d'ordine
• Connessione di Galois

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