Parallelepipedo

In geometria solida, il parallelepipedo (etimologicamente: a piani, in greco epipedòn, paralleli) è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi. Gli angoli formati dalle sue facce non sono necessariamente angoli retti; se questo accade si parla di parallelepipedo rettangolo e tutte le sue facce sono dei rettangoli.

Parallelepipedo
Tipo	Prisma
Forma facce	Parallelogrammi
Nº facce	6
Nº spigoli	12
Nº vertici	8
Valenze vertici	3

Definizione

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente in uno dei modi seguenti:

• Un prisma la cui base è un parallelogramma
• Un esaedro le cui facce sono tutti parallelogrammi
• Un esaedro con tre coppie di facce parallele

In geometria analitica, usando i vettori, è possibile definire il parallelepipedo come l'insieme

${\displaystyle \{l\mathbf {a} +m\mathbf {b} +n\mathbf {c} \ |\ 0\leq l,m,n\leq 1\}}$ 

determinato da tre vettori ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$  linearmente indipendenti nello spazio euclideo tridimensionale, indicato con ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Questi vettori coincidono con tre spigoli del parallelepipedo.

 

Tre vettori ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$  definiscono un parallelepipedo. Il volume è dato dal determinante di questi tre vettori. Oppure dal prodotto fra l'area del parallelogramma di base e dell'altezza ${\displaystyle h}$ .

Volume

Il volume di un parallelepipedo è il prodotto dell'area di una qualsiasi delle sue 6 facce per la distanza ${\displaystyle h}$  fra il piano contenente tale faccia e quello contenente la faccia opposta.

In geometria analitica, se il parallelepipedo è determinato da tre vettori ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})}$  il volume è il valore assoluto del triplo prodotto scalare

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (b\times c)}$ 

o equivalentemente, del determinante

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}.}$ 

 

Un parallelepipedo rettangolo

Proprietà

Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallelogrammi che devono appartenere a piani paralleli. Dato che ogni faccia possiede un centro di simmetria centrale, un parallelepipedo è uno zonoedro.

Tipologie

Un parallelepipedo le cui facce sono parallelogrammi particolari ha nomi più specifici:

• Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
• Un romboedro è un parallelepipedo le cui facce sono rombi;
• Un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati.

Ciascuna di queste tipologie può essere definita in modo differente:

• Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo in cui gli angoli diedrali sono tutti retti;
• Un romboedro è un parallelepipedo i cui spigoli hanno tutti la stessa lunghezza;
• Un cubo è un parallelepipedo regolare.

Voci correlate

• Cuboide
• Cubo

Collegamenti esterni

• (EN) Parallelepiped in MathWorld

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