Simmetria (statistica)

In statistica una distribuzione, una funzione di probabilità, una funzione di densità o comunque una variabile casuale si dicono simmetriche (in ingese skewness) quando esiste un valore ${\displaystyle X_{m}}$ (che coincide con la media aritmetica ovvero con il valore atteso) per il quale a tutti i valori minori ${\displaystyle X_{a}}$ (con ${\displaystyle X_{a}=X_{m}-\Delta }$, ${\displaystyle \Delta >0}$) corrisponde una frequenza o funzione di probabilità o funzione di densità identica a quella che corrisponde al valore ${\displaystyle X_{b}=X_{m}+\Delta }$. In altre parole, ciò è verificato laddove vale l'uguaglianza ${\displaystyle f(X_{m}+\Delta )=f(X_{m}-\Delta )}$, dove ${\displaystyle f(\cdot )}$ denota la funzione di densità di probabilità (nel caso di variabili casuali continue) o la funzione di massa di probabilità (nel caso di variabili casuali discrete).

Esempio di dati con simmetria diversa da zero

In generale viene usato la statistica di simmetria:

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {m_{3}^{2}}{m_{2}^{3}}}}$

ove ${\displaystyle m_{3}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ sono rispettivamente il momento centrale secondo e terzo. Tale indicatore è:

=0, nel caso di perfetta simmetria;

<0, per l'asimmetria a destra;

>0, per l'asimmetria a sinistra.

Talvolta si utilizza in alternativa la statistica:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {m_{3}}{\sqrt[{2}]{m_{2}^{3}}}}={\sqrt {\beta _{1}}}}$

Entrambe le statistiche hanno lo svantaggio che possono assumere valore nullo anche in presenza di asimmetria.

Un ulteriore indice di asimmetria è l'indice di asimmetria di Pearson:

${\displaystyle S_{k}={\frac {\mu -\nu _{0}}{\sigma }}}$

ove ${\displaystyle \mu }$ denota la media, ${\displaystyle \sigma }$ la deviazione standard e ${\displaystyle \nu _{0}}$ è la moda. Il problema di quest'ultimo indicatore è che:

1. è applicabile solo a distribuzioni unimodali;
2. non è normalizzato;
3. ${\displaystyle S_{k}=0}$ è una condizione necessaria ma non sufficiente per una distibuzione simmetrica.

Voci correlate

• Variabile casuale simmetrica
• Curtosi
• Varianza
• Media

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica