Teorema di Laplace

Il Teorema di Laplace o sviluppo di Laplace è una formula che permette di calcolare il determinante di una matrice (quadrata) con un procedimento ricorsivo. Più precisamente, si hanno due teoremi di Laplace, il primo cosiddetto "per righe" e il secondo "per colonne".

Definizioni ausiliarie

Prima di passare all'enunciato del teorema, conviene fornire alcune definizioni. Supponiamo di avere una matrice quadrata M di dimensione n e di elementi ${\displaystyle m_{ij}}$ .

• La matrice ${\displaystyle {\rm {M_{ij}}}}$  è la sottomatrice (di dimensione n-1) che si ottiene da M cancellando la i-sima riga e la j-sima colonna.
• Il valore det ${\displaystyle {\rm {M_{ij}}}}$  è detto minore complementare dell'elemento ${\displaystyle m_{ij}}$ .
• Il prodotto ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$  det ${\displaystyle {\rm {M_{ij}}}}$  è detto complemento algebrico dell'elemento ${\displaystyle m_{ij}}$ .

Enunciati

Il primo teorema di Laplace afferma che

il determinante di una matrice quadrata M è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

In formule,

${\displaystyle {\rm {{det}\,M=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,m_{ij}\,{\rm {{det}\,{\rm {M_{ij}}}}}}}}$ 

per una riga i qualsiasi.

Similmente, il secondo teorema di Laplace afferma che

il determinante di una matrice quadrata M è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

In formule,

${\displaystyle {\rm {{det}\,M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\,m_{ij}\,{\rm {{det}\,{\rm {M_{ij}}}}}}}}$ 

per una colonna j qualsiasi.

Applicazioni

• Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto dei valori sulla diagonale.
• Il determinante di una matrice triangolare è ancora il prodotto dei valori sulla diagonale.
• Gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale.

Esempio di calcolo

Come esempio di calcolo si prenda la matrice quadrata seguente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\-2&-1&-3\\0&-4&1\end{bmatrix}}}$ 

• Scegliamo la prima riga (1 ; 2 ; 3);
• Moltiplichiamo il valore del primo numero (1) della riga scelta per il suo complemento algebrico (la sottomatrice (-1,-3; -4,+1), il cui determinante è (-1*1)-(-3*-4)=-1-12=-13; perciò 1*-13=-13;
• Facciamo lo stesso per il secondo numero (2) cambiato di segno e il suo complemento algebrico (-2,-3;0,1): -2*((-2*1)-(-3*0))=4;
• In ultimo per il terzo numero (3) e il suo complemento (-2,-1;0,-4): 3*((-2*-4)-(-1*0))=24;
• Quindi il determinante dato dalla somma dei prodotti è: -13+4+24=15.

Voci correlate

• determinante
• algoritmo di Gauss
• matrice invertibile

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