Macchina di Atwood

La macchina di Atwood è stata inventata nel 1784 da George Atwood come un esperimento di laboratorio per verificare le leggi del moto uniformemente accelerato.

Atwood machine

La macchina di Atwood ideale è costituita da due oggeti di massa m₁ e m₂ connessi da un filo inestensibile di massa trascurabile posto sopra una carrucola priva di massa.

Quando ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$ la macchina si trova in equilibrio mentre quando si verifica ${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$ i due oggetti subiscono un'accelerazione.

Equazioni del moto

A questo punto è possibile ricavere le equazione del moto dei due corpi. Se consideriamo un filo inestensibile privo di massa e una carrucola priva di attrito le uniche forze da tenere in conto son la tensione del filo e la forza peso delle masse. Per trovare la somma delle forze dobbiamo considerare le forze agenti sulle singole masse.

Sul corpo m₁ la forza agente sarà:

${\displaystyle T-m_{1}g}$ 

Sul corpo m₂ la forza agente sarà:

${\displaystyle m_{2}g-T}$ 

La somma delle forze risulterà essere uguale a

${\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}$ 

Usando la seconda legge di Newton possiamo ricavare l'equazione del moto:

${\displaystyle \sum F=ma}$ 

${\displaystyle a={\sum F \over m}}$ 

${\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}$ 

${\displaystyle \;m=m_{1}+m_{2}}$ 

${\displaystyle a=g\left({m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}\right)}$ 

Equazione della tensione

Dopo aver ricavato il valore dell'accelerazione è possibile trovare il valore della tensione del filo. Per fare ciò si sistituisce il valore di ${\displaystyle a}$  in una delle due equazioni iniziali delle forze.

${\displaystyle a=g\left({m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}\right)}$ 

Per esempio sostituiamo l'accelerazione nell'equazione ${\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}$ , in questo modo otteniamo

${\displaystyle T=g\left({2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}\right)}$ 

La tensione può essere trovata ugualmente dall'equazione ${\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}$ 

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