Problemi di Hilbert

Definizione

I Problemi di Hilbert sono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi nell'anno 1900. A quei tempi i problemi erano tutti irrisolti, e molti di essi hanno avuto una notevole portata nella matematica del ventesimo secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.

Elenco dei 23 problemi

I 23 problemi di Hilbert sono:

Problema 1	risolto	L'ipotesi del continuo e il fatto che l'insieme dei numeri reali sia ben ordinato
Problema 2	risolto	L'insieme degli assiomi dell'aritmetica è consistente?
Problema 3	risolto	Si può provare che due tetraedri di uguale base e altezza abbiano uguale volume?
Problema 4	aperto	Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche
Problema 5	risolto parzialmente	Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali?
Problema 6	aperto	Assiomatizzare tutta la Fisica
Problema 7	risolto parzialmente	Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero a^b è sempre trascendente?
Problema 8	aperto	Dimostrare l'ipotesi di Riemann
Problema 9	risolto	Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico
Problema 10	risolto	Determinazione delle soluzioni generali di un'equazione diofantea
Problema 11	risolto	Estensione dei risultati delle forme quadratiche nel caso di coefficiente algebrico
Problema 12	risolto	Estendere il Teorema di Kronecker sui campi abeliani a campi algebrici arbitrari
Problema 13	risolto	Soluzione dell'equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti
Problema 14	solved	Proof of the finiteness of certain complete systems of functions
Problema 15	solved	Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus
Problema 16	open	Topology of algebraic curves and surfaces
Problema 17	solved	Expression of definite rational function as quotient of sums of squares
Problema 18	solved	Is there a non-regular, space-filling polyhedron? What's the densest sphere packing?
Problema 19	solved	Are the solutions of Lagrangians always analytic?
Problema 20	solved	Do all variational problems with certain boundary conditions have solutions?
Problema 21	solved	Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group
Problema 22	solved	Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions
Problema 23	solved	Further development of the calculus of variations

seconda formulazione, sceglierò una delle due di volta in volta

Cantor's Problem of the Cardinal Number of the Continuum
The Compatibility of the Arithmetical Axioms
The Equality of the Volumes of Two Tetrahedra of Equal Bases and Equal Altitudes
Problem of the Straight Line as the Shortest Distance Between Two Points
Lie's Concept of a Continuous Group of Transformations Without the Assumption of the Differentiability of the Function Defining the Group
Mathematical Treatment of the Axioms of Physics
Irrationality and Transcendence of Certain Numbers
Problems of Prime Numbers'
Proof of the Most General Law of Reciprocity in any Number Field
Determination of the Solvability of a Diophantine Equation
Quadratic Forms With Any Algebraic Numerical Coefficients
Extension of Kronecker's Theorem on Abelian Fields to Any Algebraic Realm of Rationality
Impossibility of Solution of the General Equation of the 7th Degree by Means of Functions of Only Two Arguments
Proof ofthe Finiteness of Certain Complete Systems of Functions
Rigorous Foundations of Schubert's Enumerative Calculus
Problem of the Topology of Algebraic Curves and Surfaces
Expressions of Definite Forms by Squares
Building up of Space From Congruent Polyhedra
Are The Solutions of Regular Problems in the Calculus of Variations Always Necessarily Analytic?
The General Problem of Boundary Values
Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group
Uniformization of Analytic Relations by Means of Automorphic Functions
Further Development of the Methods of the Calculus of Variations

Secondo Rowe e Gray (vd. Bibliografia), la maggior parte di questi problemi sono stati risolti. Alcune soluzioni non sono state completamente definite, ma c'è stato un avanzamento tale da poterli considerare "risolti"; Rowe e Gray ritengono che il quarto problema sia troppo generale per ipotizzare i tempi di una futura soluzione.

Inoltre il problema 18 viene considerato (nella loro opera risalente al 2000) come "aperto", poichè il problema dell'impacchettamento sferico (conosciuto anche come Congettura di Keplero) era irrisolto. Ora però è stata avanzata una soluzione (vedi Riferimenti).

Sono stati fatti notevoli passi avanti negli anni 90 per il problema numero 16.

Problema 1

L'ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa strettamente tra quella dell'insieme dei numeri interi e quella dell'insieme dei numeri reali. La risposta è stata data da Gödel e Cohen che hanno dimostrato come la validità di questa ipotesi dipenda dalla particolare versione della teoria degli insiemi che viene considerata.

L'insieme dei numeri reali può essere considerato un insieme ben ordinato? Questa domanda è parzialmente irrisolta, in quanto è correlata all'assioma di scelta di Zermelo-Fraenkel; nel 1963 si dimostrò che questo assioma è indipendente da tutti gli altri assiomi nella teoria degli insiemi, cosicchè non è possibile basarci su quest'ultimo per risolvere l'ordinamento dell'insieme dei numeri reali.

Problema 2

La risposta al problema 2 è no, e non solo per l'aritmetica. Il Teorema d'incompletezza di Gödel stabilisce infatti che ogni sistema formale abbastanza potente (in senso formale) da ricercare una consistenza interna, può provare la propria consistenza se e solo se il sistema stesso è inconsistente.

Problema 3

Dati due tetraedri che non possono essere scomposti in tatraedri congruenti (direttamente o unendo altri tetredri congruenti), è possibile determinare se hanno lo stesso volume? Max Dehn ha dimostrato nel 1902, mediante lo sviluppo della teoria degli invarianti di Dehn, che questo non è possibile; analogo risultato è stato raggiunto indipendentemente da W.F.Kagon nel 1903.

Problema 4

Una formulazione equivalente è la seguente: trovare tutte le geometrie (più precisamente le metriche di queste) in cui la distanza più breve tra due punti sia costituita da una linea retta. Le geometrie devono mantenere gli assiomi di incidenza e di ordine della geometria euclidea, mantenere (anche se in forma debole) quello di congruenza e omettere l'equivalente del postulato delle parallele. Questo problema è stato risolto da G. Hamel.

Problema 5

Una formulazione equivalente è: possiamo evitare il requisito di differenziabilità per le funzioni che definiscono un gruppo continuo di trasformazioni? La risposta positiva è stata trovata da John von Neumann nel 1930 per i gruppi bicompatti ( con ampliamento nel 1952 ai gruppi localmente compatti da parte di Andrew Glean); risolto in seguito anche per quelli Abeliani, e con ampliamenti di Montgomery, Zipin e Yamabe nel 1952 e 1953.

Problema 6

Data la portata così generale, questo problema è rimasto tuttora irrisolto.

Problema 7

La risposta è positiva nel caso speciale in cui b sia algebrico, come dimostrato nel 1934 da Aleksander Gelfond con il Teorema di Gelfond. Comunque, nel caso generico, il problema rimane irrisolto.

Problema 8

L'ipotesi di Riemann non è stata finora nè confutata nè provata.

Problema 9

Il problema venne risolto da Artin nel 1927, con il Teorema di reciprocità di Artin.

Problema 10

La risposta negativa (ovvero l'impossibilità di trovare una soluzione generale) si deve al Teorema di Matiyasevich, 1970.

Problema 11

Problema 12

Questa estensione è stata realizzata mediante l'utilizzo delle funzioni olomorfe in più variabili, che hanno proprietà simili alla funzione esponenziale e alle funzioni modulari ellittiche.

Problema 13

Problema 14

Problema 15

Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 19

Problema 20

Problema 21

Problema 22

Problema 23

Il problema 24

Mentre Hilbert preparava la lista dei problemi, ne stilò anche un altro che poi non venne incluso, riguardante criteri di semplicità e metodo generale. La scoperta del problema 24 si deve a Rüdiger Thiele.

Link esterni

Riferimenti bibliografici

Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0198506511