Gioco bayesiano
Nella teoria dei giochi, un gioco bayesiano secondo il quale le informazioni degli altri giocatori (per esempio i payoff) sono incomplete. Secondo il modello di John C. Harsanyi si può modellare un gioco di questo tipo inserendo la Natura tra i giocatori. In un gioco bayesiano si intende l'incompletezza delle informazioni come il fatto che almeno un giocatore è insicuro del tipo di scelta di un altro giocatore.
Tali giochi sono chiamati bayesiani a causa delle analisi probabilistica inerenti al gioco teorema di Bayes. I giocatori hanno una iniziale convinzione (belief) circa il tipo di scelta di ciascun giocatore (dove una convinzione è una distribuzione di probabilità su i possibili tipi per un giocatore) e possono aggiornare i loro belief secondo il teorema di Bayes.
Equilibrio di Nash bayesiano
In un gioco non-bayesiano, un profilo di strategia è un equilibrio di Nash se ogni strategia di tale profilo è una miglior risposta ad ogni altra strategia nel profilo; vale a dire, non vi è alcuna strategia che un giocatore può giocare che porti a un più elevato rendimento (payoff), date tutte le strategie svolte dgli altri giocatori.
In un gioco bayesiano (dove i giocatori sono modellati come neutrali al rischio), i giocatori razionali cercheranno di massimizzare il loro payoff atteso, date le loro convinzioni (belief) circa gli altri giocatori (nel caso generale, in cui i giocatori possono essere o avversi al rischio o amanti del rischio, si presuppone la teoria dell'utilità attesa)
Un equilibrio di Nash Bayesiano è definito come un profilo di strategie e credenze (belief) specificato per ogni giocatore circa i tipi degli altri giocatori, al fine di massimizzare il profitto atteso (payoff) per ogni giocatore date le loro convinzioni (beliefs) circa gli altri giocatori tipi di dato e le strategie svolte dagli altri giocatori.
Questa definizione è abbastanza generica, e rende l'abbondanza di equilibri dinamici in questi giochi se non vi sono ulteriori restrizioni che quelle create sulle credenze (belie) dei giocatori. Ciò rende l'equilibrio di Nash Bayesiano uno strumento incompleto con il quale analizzare le dinamiche giochi di informazioni incompleta.
Equilibrio bayesiano perfetto
L'equilibrio di Nash bayesiano non è affidabile per i giochi dinamici, dove i giocatori si alternano in sequenza anziché contemporaneamente. Allo stesso modo sarebbe inutile in giochi d'informazione perfetta e completa, rendendo incredibili minacce e promesse. Tali equilibri potrebbero essere eliminati in in giochi in perfetta e completa informazione applicando l'equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi
Tuttavia, non è possibile avvalersi di questa soluzione nei giochi ad informazione incompleta in quanto tali giochi non contengono singolo set di informazioni e a volte vi è un solo sottogioco.
Per perfezionare la equilibri generati dall'equilibrio di Nash bayesiano concetto o dall'equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi, si può applicare l' equilibrio bayesiano perfetto. L'EBP è nello spirito uno SPE subgame perfezione, in quanto esige che le successive svolgere essere ottimale. Tuttavia, i belief del giocatore sulla decisione nel luogo dei nodi che si verificano nel proprio set di informazioni, sono condizionati da eventi generati dalla natura (nel caso di informazioni incomplete) o da altri giocatori (nel caso di asimmetrie informative).
Esempio
L'informazione del gioco a sinistra è imperfetta in quanto giocatore 2 non sa quello che fa il giocatore 1 giocatore quando tocca a lui giocare. Se entrambi i giocatori sono razionali ed entrambi sanno che entrambi i giocatori sono razionali, e tutto ciò che è conosciuto da ogni giocatore è noto ad ogni giocatore (vale a dire il giocatore 1 sa che il giocatore 2 sa che giocatore 1 è razionale e il giocatore 2 lo sa, ecc all'infinito - comune conoscenza), il gioco nel gioco sarà giocato nel seguente equilibrio perfetto Bayesiano:
Il giocatore 2 non può osservare la mossa del giocatore 1. Il giocatore 1 vorrebbe ingannare il giocatore 2 facendogli pensare che ha scelto U mentre egli ha effettivamente svolto D. Ingannato in questo modo il giocadore 2 sceglierebbe D', ed il giocatore 1 riceverà 3.
In realtà, vi è un perfetto equilibrio Bayesiano in quanto il giocatore 1 gioca D e il giocatore 2 gioca U', in quanto 2 è profondamente convinto che 1 giocherà D. In questo equilibrio, ogni strategia razionale è data da belief, ed ogni convinzione è coerente con le strategie svolte. In questo caso, il perfetto equilibrio Bayesiano è l'unico equilibrio di Nash.