Forma canonica
La forma canonica o funzione canonica deriva dalla necessità di ricavare una funzione dalla tabella della verità.
Esistono due tipi di funzioni canoniche: (il simbolo ' dopo la variabile indica la negazione della stessa, es. A' = A negato)
- Dati i mintermini: sono termini che comprendono tutte le variabili di una funzione, in forma negata o diretta, e le mettono in relazione AND fra loro. Per esempio a tre variabili (A,B,C):
- (A.B.C) (A.B.C') (A.B'.C) (A.B'.C') (A'.B.C) (A'.B.C') (A'.B'.C) (A'.B'.C')
- Sono funzioni canoniche disgiuntive le funzioni ottenute usando esclusivamente mintermini in relazione OR fra loro. Per esempio:
- Q=(A'.B.C)+(A.B.C')+(A'B'C')+(A.B.C)
- Dati i maxtermini: sono termini che comprendono tutte le variabili di una funzione, in forma negato o diretta, e le mettono in relazione OR fra loro. Per esempio a tre variabili (A,B,C):
- (A+B+C) (A+B+C') (A+B'+C) (A+B'+C') (A'+B+C) (A'+B+C') (A'+B'+C) (A'+B'+C')
- Sono funzioni canoniche congiuntive le funzioni ottenute usando esclusivamente maxtermini in relazione AND fra loro. Per esempio:
- Q= (A+B+C).(A+B+C').(A'+B'+C).(A+B'+C)
Usando la tabella della verità:
Valore decimale: A B C: Mintermini: Maxtermini:
0 000 A'.B'.C' A+B+C
1 001 A'.B'.C A+B+C'
2 010 A'.B.C' A+B'+C
3 011 A'.B.C A+B'+C'
4 100 A.B'C' A'+B+C
5 101 A.B'.C A'+B+C'
6 110 A.B.C' A'+B'+C
7 111 A.B.C A'+B'+C'
Le funzioni canoniche si dividono in due forme: Prima e Seconda Forma Canonica.
1° forma canonica
La Prima forma canonica può essere ricavata utilizzando due diversi procedimenti, il primo che riguarda l'uso del teorema di Shannon e il secondo attraverso l'analisi di una qualsiasi tabella della verità.
Dallo svolgimento del Teorema di Shannon per una funzione a 2 variabili (in questo caso A,B) si ricava la seguente scrittura:
a cui poi sostituendo i valori di che troviamo nella tabella di verità otteniamo la cosiddetta forma SOP o Sum of Product o Prima forma canonica.
Es. Se avessimo una tabella della verità simile a questa:
| A | B | |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Non facciamo altro che prendere la funzione ricavata dallo sviluppo del teorema di Shannon e sostituiamo i valori come con il reale valore che la funzione assume nella tabella di verità. In questa caso avremmo:
Se i casi in cui la funzione assume due volte valore 1 non c'è nessun problema in quanto uno dei tre zeri della funzione trovata diventa uno e quindi rimane il termine per cui la funzione risulta 1.
Nel caso in cui non volessimo usare il Teorema di Shannon basta prendere le righe della tabella in cui la funzione assume 1 come valore e andare a vedere se le variabili sono naturali o complementate (naturali quando e.s. A=1 o B=1 e complementate quando e.s. A=0 o B=0) e quindi scrivere la utilizzando la dicitura A se naturale o A' se complementata.
Es.
| A | B | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
A=0, B=1
In questo caso se la funzione assume più di una volta il valore 1 basterà aggiungere attraverso una somma l'altro mintermine utilizzando sempre il procedimento di prima per ricavarlo.
2° forma canonica
La Seconda forma canonica viene ricava attraverso l'analisi della tabella della verità ma in modo duale rispetto al metodo adottato nella prima forma canonica. Questo significa quindi che dalla tabella della verità noi prendiamo le righe in cui la funzione assume valore 0, vediamo se le variabili sono naturali o complementate, dopodichè scriviamo la funzione sommando tra di loro le variabili utilizzando la dicitura A' se naturale e A se complementata (N.B.: questa scrittura è ben diversa da quella utilizzata nella prima forma canonica); se la funzione assume più volte il valore 0 i mintermini devono essere divisi da una moltiplicazione, da questo deriva il termine POS o Product of Sum o Seconda Forma Canonica. Es
| A | B | |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
dove A+B è della 1° riga, A'+B è della 3° riga, A'+B' è della 4° riga.