Curvatura scalare

In geometria differenziale la curvatura scalare è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Definizione

Sia ${\displaystyle M}$  una varietà riemanniana o una più generale varietà differenziabile dotata di una connessione ${\displaystyle \nabla }$ . La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di ${\displaystyle M}$  un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

${\displaystyle R=g^{ij}R_{ij}.\,\!}$ 

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo ${\displaystyle (0,2)}$ , ovvero una forma bilineare. La curvatura sezionale è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico ${\displaystyle g}$ , presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo ${\displaystyle (0,0)}$ , ovvero una funzione.

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