Equazioni differenziali non lineari

Equazioni differenziali non lineari a variabili separabili

Le equazioni differenziali a variabili separabili hanno la seguente forma:

${\displaystyle y(x)^{^{'}}=a(x)\cdot b(y(x))}$

dove ${\displaystyle a(x)}$ e ${\displaystyle b(x)}$ sono funzioni valide in determinati intervalli I e J. Essa è un'equazione differenziale del primo ordine ed è non lineare se b non è un polinomio di primo grado.

risoluzione di equazioni differenziali non lineari del primo ordine a variabili separabili

Le equazioni non lineari sono in genere molto difficili da trattare rispetto alle lineari ma in questo caso riconducendosi ad un problema di Cauchy con una condizione iniziale nota ${\displaystyle y(x_{0})=y}$ è facilmente risolvibile.

Se ${\displaystyle b(y_{0})\neq 0}$ allora si procede separando le variabili x e y:

${\displaystyle {\frac {y(x)^{'}}{b(y(x))}}=a(x)}$

quindi integrando otteniamo:

${\displaystyle \int _{x0}^{x}{\frac {y(x)^{'}}{b(y(x))}}\cdot {dx}=\int _{x0}^{x}a(x)\cdot {dx}}$

sapendo inoltre che ${\displaystyle y(x)^{'}={\frac {\cdot {dy}}{\cdot {dx}}}}$ e riscrivendo il primo integrale rispetto y otteniamo:

${\displaystyle \int _{y0}^{y}{\frac {1}{b(y)}}\cdot {dy}=\int _{x0}^{x}a(x)\cdot {dx}}$

ponendo ${\displaystyle H(y)}$ primitiva di ${\displaystyle {\frac {1}{b(y)}}}$ e ${\displaystyle A(x)}$ primitiva di ${\displaystyle a(x)}$ si ha che:

${\displaystyle H(y(x))-H(y_{0})=H(y)|_{y0}^{y}=A(x)|_{x0}^{x}=A(x)-A(x_{0})}$

A questo punto l'intervallo di esistenza e l'unicità della soluzione dipendono dall'invertibilità della funzione ${\displaystyle H(y)}$:

la soluzione quindi è:

${\displaystyle y(x)=H^{-1}\cdot [A(x)-A(x_{0})+H(y_{0})]}$