Equazioni differenziali non lineari

Consideriamo un'equazione differenziale di ordine n che indicheremo:

${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$

Se l'equazione è lineare con coefficienti e termini noti continui in un determinato intervallo allora è possibile trovare una funzione reale dipendete da x e n parametri costanti c del tipo:

${\displaystyle y=y(x,c_{1},c_{2},\ldots \ldots ,c_{n})}$

detta anche integrale generale della funzione ${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$

Se l'equazione è non lineare invece non è detto che si possa trovare una soluzione del tipo ${\displaystyle y=y(x,c_{1},c_{2},\ldots \ldots ,c_{n})}$ che fornisca tutti gli integrali della funzione ${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$ e a tale scopo si definisce equazione non lineare la funzione ${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$, per la cui soluzione ${\displaystyle y=y(x,c_{1},c_{2},\ldots \ldots ,c_{n})}$, detta integrale generale in forma esplicita, si hanno solo alcuni integrali di ${\displaystyle F(x,y,y^{'},\ldots \ldots ,y^{(n)})=0}$ e non necessariamente tutti gli integrali di essa.

Equazioni differenziali non lineari a variabili separabili

Le equazioni differenziali a variabili separabili hanno la seguente forma:

${\displaystyle y^{'}(x)=a(x)\cdot b(y(x))}$ 

dove ${\displaystyle a(x)}$  e ${\displaystyle b(x)}$  sono funzioni valide in determinati intervalli I e J. Essa è un'equazione differenziale del primo ordine ed è non lineare se b non è un polinomio di primo grado.

Risoluzione di equazioni differenziali non lineari del primo ordine a variabili separabili

Le equazioni non lineari sono in genere molto difficili da trattare rispetto alle lineari ma in questo caso riconducendosi ad un problema di Cauchy con una condizione iniziale nota ${\displaystyle y(x_{0})=y}$  diventano facilmente risolvibili.

Se ${\displaystyle b(y_{0})\neq 0}$  allora si procede separando le variabili x e y:

${\displaystyle {\frac {y^{'}(x)}{b(y(x))}}=a(x)}$ 

quindi integrando otteniamo:

${\displaystyle \int _{x0}^{x}{\frac {y^{'}(x)}{b(y(x))}}\cdot {dx}=\int _{x0}^{x}a(x)\cdot {dx}}$ 

sapendo inoltre che ${\displaystyle y^{'}(x)={\frac {dy}{dx}}}$  e riscrivendo il primo integrale rispetto y otteniamo:

${\displaystyle \int _{y0}^{y}{\frac {1}{b(y)}}\cdot {dy}=\int _{x0}^{x}a(x)\cdot {dx}}$ 

ponendo ${\displaystyle H(y)}$  primitiva di ${\displaystyle {\frac {1}{b(y)}}}$  e ${\displaystyle A(x)}$  primitiva di ${\displaystyle a(x)}$  si ha che:

${\displaystyle H(y(x))-H(y_{0})=H(y)|_{y0}^{y}=A(x)|_{x0}^{x}=A(x)-A(x_{0})}$ 

A questo punto l'intervallo di esistenza e l'unicità della soluzione dipendono dall'invertibilità della funzione ${\displaystyle H(y)}$ :

la soluzione quindi è:

${\displaystyle y(x)=H^{-1}\cdot [A(x)-A(x_{0})+H(y_{0})]}$