Quadrivettore

In relatività ristretta, un quadrivettore (o tetravettore) A è un vettore dello spazio-tempo di Minkowski, rappresentato da una quadrupla di valori ${\displaystyle ({A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3})}$ che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz.

In relatività generale, il termine quadrivettore identifica un vettore dello spazio tangente allo spazio-tempo o anche, per estensione, un vettore dello spazio cotangente. Qui saranno descritti i quadrivettori in relatività ristretta: la relatività generale generalizza il concetto di quadrivettore, ma richiede delle modifiche ai risultati descritti in questo articolo.

Nello spazio di Minkowski la norma quadratica di un quadrivettore è definita come:^[1]

${\displaystyle \left|\mathbf {A} \right|^{2}=-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}}$

Il modulo di un quadrivettore è per definizione invariante per trasformazioni di Lorentz, cioè è uno scalare.

Il raggio vettore che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello spazio-tempo dell'evento in questione, cioè (ct,x,y,z). In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata ${\displaystyle {A}^{i}}$ ^[2].

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le trasformazioni di Lorentz. Contraendo l'indice con uno degli indici del tensore metrico ${\displaystyle \mathbf {g} }$ si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

${\displaystyle {A}_{\mu }=\sum _{\nu =0}^{3}{g}_{\mu \nu }{A}^{\nu }={g}_{\mu \nu }{A}^{\nu }}$

dove nell'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma ${\displaystyle \nu }$ assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama innalzamento o abbassamento degli indici ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo spazio tangente e il suo spazio duale, lo spazio cotangente.

Volendo esprimere l'ugualianza in termini matriciali, possiamo considerare A_μ e A^μ le componenti di due vettori colonna e g_μν le componenti di una matrice 4 ${\displaystyle \times }$ 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{matrix}}\right)}$

In relatività ristretta la particolare forma (diagonale) del tensore metrico in relatività ristretta fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

${\displaystyle A_{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\nu }=g_{\mu \mu }A^{\mu }=\left\{{\begin{matrix}-1&{\mbox{se}}\,\,\,\mu =0\\1&{\mbox{se}}\,\mu =1,2,3\end{matrix}}\right.}$

oppure, in forma matriciale:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{matrix}}\right)}$

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno la componente temporale. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivata di uno scalare: se ${\displaystyle \mathbf {s} }$ è un invariante per trasformazioni di Lorentz, ${\displaystyle {A}_{\mu }}$ ha le stesse leggi di trasformazione di ${\displaystyle {\frac {ds}{d{x}^{i}}}}$.

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite il tensore metrico può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

${\displaystyle <\mathbf {A} ,\mathbf {B} >=\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}{g}_{\mu \nu }{A}^{\mu }{B}^{\nu }={A}^{\mu }{g}_{\mu \nu }{B}^{\nu }={A}^{\mu }{B}_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{A}^{\mu }{B}_{\mu }}$.

Genere del quadrivettore

Diversamente dal caso euclideo, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

• di genere spazio se ${\displaystyle \mathbf {|} A|^{2}<0}$ ;
• di genere tempo se ${\displaystyle \mathbf {|} A|^{2}>0}$ ;
• nulli o isotropi o di genere luce, se ${\displaystyle \mathbf {|} A|^{2}=0}$ ;

Il genere è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz.

Note

1. ^ Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).
2. ^ Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.

Voci correlate

• Spazio-tempo di Minkowski
• Altrove assoluto
• Quadrivelocità

Template:Relatività