Gas ideale monoatomico

Gas ideale classico con il microcanonico

Consideriamo un gas ideale di particelle indistinguibili in un volume V. L'hamiltoniana del sistema è:

${\displaystyle H(q_{i},p_{i})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=\sum _{i=1}^{3N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}}$ 

Calcoliamo ${\displaystyle \Sigma (E)}$  tenendo conto che l'hamiltoniana non dipende dalle coordinate, ma solo dagli impulsi:

${\displaystyle \sigma (E)=\int _{H\leq E}d^{3N}qd^{3N}p=V^{N}\int _{H(p_{i})\leq E}d^{3N}p}$ 

L'integrale è il volume di una sfera N-dimensionale di raggio ${\displaystyle {\sqrt {2mE}}}$  cioè i punti dello spazio dei momenti sono interni a questa sfera. Il calcolo di questo integrale è standard, grazie all'uso dell'integrale gaussiano e della funzione ${\displaystyle \Gamma }$  di Eulero:

${\displaystyle \Sigma (E)={\frac {\pi ^{3N/2}}{{\frac {3N}{2}}\Gamma (3N/2)}}R^{3N/2}V^{N}}$ 

dove ${\displaystyle R={\sqrt {2mE}}}$ . Quindi

${\displaystyle \omega (E,V,N)={\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}=V^{N}{\frac {\pi ^{3N/2}}{\Gamma (3N/2)}}(2m)^{3N/2}E^{3N/2-1}}$ 

L'entropia è:

${\displaystyle S(E,V,N)=k\ln \left[V^{N}{\frac {\pi ^{3N/2}}{\Gamma (3N/2)}}(2m)^{3N/2}E^{3N/2-1}\right]}$ 

Qui bisogna introdurre una costante che renda adimensionale l'argomento del logaritmo, questa costante ha le dimensioni di un volume dello spazio delle fasi, che è scelta in base ad argomenti quantistici essere ${\displaystyle h^{3N}}$ . Usando Stirling e il fatto che ${\displaystyle E^{3N/2-1}\approx E^{3N/2}}$  allora:

${\displaystyle S(E,V,N)=Nk\left[{\frac {3}{2}}+\ln \left[{\frac {V}{h^{2}}}\left({\frac {4\pi mE}{3N}}\right)^{3/2}\right]\right]}$ 

Le altre proprietà termodinamiche derivano da questa:

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}={\frac {1}{T}}={\frac {3}{2}}{\frac {Nk}{E}}}$ 

Gas ideale con il canonico

Vediamo che il calcolo delle proprietà del gas ideale è facilitatto con il canonico. Usando la stessa hamiltoniana, calcoliamo la funzione di partizione canonica (inserendo il fattore di correzion di Gibbs):

${\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int d^{3N}qd^{3N}pe^{-\beta H}={\frac {V^{N}}{N!h^{3N}}}\prod _{i=1}^{3N}\int _{-\infty }^{\infty }dp_{i}e^{-\beta p_{i}^{2}/2m}}$ 

Facciamo la sostituzione ${\displaystyle x={\sqrt {\beta /2m}}p_{i}}$  e vediamo che l'integrale si riduce ad integrale gaussiano:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dxe^{-x^{2}}={\sqrt {\pi }}}$ 

per cui:

${\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {V^{N}}{N!h^{3N}}}\left({\frac {2m\pi }{\beta }}\right)^{3N/2}={\frac {V^{N}}{N!}}\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3N/2}}$ 

Ricaviamo l'energia libera di Helmholtz:

${\displaystyle F=-kT\ln Z(T,V,N)=-NkT\left[1+\ln \left({\frac {V}{N}}\left[{\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right]^{3/2}\right)\right]}$ 

dove si è usata ancora l'approssimazione di Stirling. Quindi:

${\displaystyle p=-\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T,N}={\frac {NkT}{V}}}$ 

${\displaystyle S=-\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V,N}=Nk\left[{\frac {5}{2}}+\ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\right]\right]}$ 

${\displaystyle \mu =\left({\frac {\partial F}{\partial N}}\right)_{T,V}=-kT\ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\right]}$ 

Voci correlate

Insieme microcanonico

Insieme canonico

Insieme gran canonico