Numero perfetto

Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso sé stesso.

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se  2ⁿ⁺¹ - 1  è un numero primo, allora  2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ - 1)  è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma.

Esempio: 6 = 2¹ · (2² - 1)

Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:

• un numero triangolare, visto che si può scrivere

${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}-1)={(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-1+1) \over 2}={k(k+1) \over 2}}$

• un numero esagonale, visto che si può scrivere

${\displaystyle 2^{n}(2^{n+1}-1)\,=\,2^{2n+1}-2^{n}=2k^{2}-k}$

I primi 10 numeri perfetti sono:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 33.550.336 (8 cifre)
• 8.589.869.056 (10 cifre)
• 137.438.691.328 (12 cifre)
• 2.305.843.008.139.952.128 (19 cifre)
• 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176 (37 cifre)
• 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216 (54 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 279 cifre. A tutt'oggi (Marzo 2009) si conoscono solo 46 numeri perfetti (e di conseguenza 46 numeri primi di Mersenne)^[1]. Il più grande tra questi è 2^43,112,608 × (2^43,112,609 − 1) e contiene 25,956,377 cifre.

I primi 39 numeri perfetti sono sicuramente esprimibili come 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) con:

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (EN) Sequenza {{{1}}}, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation..

Si conoscono altri 7 numeri numeri perfetti maggiori di quelli con

n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609.

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8.

Infatti da  2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ - 1)  si ha che:

 2ⁿ è pari e termina 2, 4, 8, 6;

(2ⁿ⁺¹ - 1)  è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

Il valore '5' va scartato in quanto cadrebbe l'ipotesi di primalità, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto

Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo.

Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.

Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a:

2ⁿ · 2ⁿ⁺¹

Note

1. ^ http://www.mersenne.org/

Voci correlate

• Numero semi-perfetto
• Numero primo di Mersenne
• Numeri amicabili

Collegamenti esterni

• Perfect, amicable and sociable numbers di David Moews
• Perfect numbers - History and Theory in MacTutor
• Perfect Number in MathWorld
• Sequence A000396 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Bibliografia

• Kevin Hare (2005): New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint disponibile nella pagina web dell'autore.

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