Particella libera

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In meccanica quantistica il primo problema quantistico è indubbiamente lo studio della particella libera in una dimensione, intendendo con l'aggettivo libera, il fatto che essa non è sottoposta ad alcun potenziale. Lo studio della particella libera è importante anche perché alcuni problemi tridimensionali si riducono a problemi equivalenti unidimensionali.

L'equazione di Schrödinger in una dimensione è in generale:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\cdot \psi (x)=E\cdot \psi (x)}$

poiché ${\displaystyle V(x)=0}$ si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\cdot \psi (x)}$

dove m è la massa della particella. Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, ponendola nella forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-\lambda ^{2}\cdot \psi (x)}$

dove ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}}$. In generale l'operatore hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ e l'operatore impulso ${\displaystyle p}$ commutano, così vale anche per l'energia cinetica della particella:

${\displaystyle [{\mathcal {H}},p]=0}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {H}},{\frac {p^{2}}{2m}}\right]=0}$

e quindi ammettono una base comune di autostati. La soluzione generale dell'equazione di Schrödinger sono le autofunzioni dell'impulso, quindi:

${\displaystyle \psi (x)=Ae^{i\lambda x}+Be^{-i\lambda x}}$

con A,B coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo le condizioni al contorno che la funzione d'onda si annulli all'infinito ${\displaystyle \psi (\infty )=0}$ si ottiene:

${\displaystyle B=0}$

cioè l'onda è solo progressiva. La costante A si determina imponendo la normalizzazione degli stati.

La soluzione dipendente dal tempo si può esplicitare:

${\displaystyle \psi (x,t)=A\cdot e^{-(Et-p\cdot x)/\hbar }}$

dove ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$, cioè un'onda piana di energia E e quantità di moto p, che viaggia con frequenza:

${\displaystyle \omega ={\frac {E}{\hbar }}}$

e il cui vettore d'onda è:

${\displaystyle k={\frac {p}{\hbar }}}$

Lo spettro energetico è quindi continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso ${\displaystyle E=0}$) ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione di p. (Nel caso unidimensionale che stiamo trattando ciò non sussiste perché vi è una sola direzione, ma nel caso tridimensionale p è un vettore). La costante A si ottiene in termini di p:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{p'}^{*}(x)\psi _{p}(x)=2\pi \hbar \delta (p'-p)}$

Voci correlate

• Buca di potenziale
• Gradino di potenziale
• Particella in una scatola
• Oscillatore armonico quantistico

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