Processo di Poisson
Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840), è un processo stocastico definito riguardo il manifestarsi di eventi. Questo processo di conta, dato come una funzione del tempo N(t), rappresenta il numero di eventi a partire dal tempo t = 0. Inoltre il numero di eventi tra il tempo a e il tempo b è dato come N(b) − N(a) ed ha una distribuzione di Poisson.
Il processo di Poisson è un processo tempo continuo: la sua controparte tempo discreta è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è un uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche esempi di processo markoviano tempo continuo.
Tipi di processi di Poisson
Processo di Poisson omogeneo
Un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato da un parametro di frequenza λ, detto intensità, tale che il numero di eventi in un itervallo di tempo seguono una distribuzione di Poisson con il parametro associato . Questa relazione è data come
![{\displaystyle (t,t+\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a157feb8993dca21af1c29b49023a453697cf5)
![{\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cfe8d78d6acf4f6f619d073bab451436c6c7f9)
dove N(t + τ) − N(t) descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (t, t + τ].
Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare λ, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza λ, che corrisponde con il valore atteso del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.
Nel dettaglio:
Avendo assunto che λ sia costante possiamo ritenere
![{\displaystyle P[(N(t+\tau )-N(t))=k]=P[N(T)=k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9cb19002abd3e375d973fc281dc08d0f136a3a)
con , in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.
![{\displaystyle T=(t,t+\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791269ebb171c94dac4bf8a64de7e8c4cc0f047f)
Possiamo inoltre suddividere T in n intervallini di ampiezza δ tale che e sufficientemente piccoli tale che
![{\displaystyle P[N(\delta )=1]=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0acbf405074889e9707fd47067b3408cc20b97b)
![{\displaystyle P[N(\delta )=0]=1-p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38db42ea095a1d67a6147882370fa0c47515088b)
≈ 0
![{\displaystyle P[N(\delta )>1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce66332ba12276d9a104c5a46436c1a8de17352)
Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una distribuzione di probabilità di Bernoulli il cui valore medio risulta p. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata T risulta quindi:
Assumiamo infine che il numero di eventi per ogni intervallino non dipenda da ciò che avviene negli altri intervalli.
Abbiamo in pratica modellato il processo contatore come un estrazione semplice, per cui la probabilità che si verifichino k eventi in un intervallo T equivale alla probabilità che k intervallini su n contengano un evento e non ne contengano affatto:
![{\displaystyle P[N(T)=k]={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9961579e38d10296d066c7a7eee5ebef27cbb755)
sostituendo quindi p con e calcolando il limite per n → ∞, ovvero per δ→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:
![{\displaystyle P[(N(T)=k]={\frac {e^{-\lambda T}(\lambda T)^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da28836a4f4db5b20c98600d413902694fd77ae5)
