Calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio è quella branchia della matematica che studia i modi per raggruppare e ordinare gli elementi di un insieme di oggetti. Un problema di tipo combinatorio è legato al concetto di contare tali modi, detti configurazioni e viene solitamente posto in termini di domande quali "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..." ecc... .

Più formalmente, dato un insieme di ${\displaystyle n}$ oggetti si vuole contare le configurazioni che possono assumere ${\displaystyle k}$ oggetti tratti da questo insieme. Prima di affrontare un problema combinatorio bisogna capire due fatti importanti:

• Se l'ordinamento è importante, ovvero se due configurazioni sono le stesse a meno di un riordinamento (Es.: ${\displaystyle (x,y,z)}$ è uguale a ${\displaystyle (z,x,y)}$ ? )
• Se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell'insieme può o meno essere riusato più volte all'interno di una stessa configurazione.

Permutazioni

Una permutazione è un riodinamento di un insieme di oggetti ed ogni oggetto può essere considerato al più una volta. Per contare quante siano le permutazioni di un insieme con n oggetti si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in ${\displaystyle n}$  modi diversi, il secondo in ${\displaystyle (n-1)}$ , il terzo in ${\displaystyle (n-2)}$  e così via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Dunque, indicando con ${\displaystyle P_{n}}$  il numero delle possibili permutazioni si ottiene che esse sono esattamente ${\displaystyle n!}$  (${\displaystyle n}$  fattoriale):

${\displaystyle P_{n}=n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times 1=n!}$ 

Esempio:

Disposizioni

Combinazioni