Ha conquistato due promozioni in Serie A, entrambe con la maglia del Livorno, nelle stagioni 1936-37 e 1939-40, e due titoli consecutivi di capocannoniere della serie cadetta, entrambi con lo Spezia, nelle stagioni 1941-42 (24 reti) e 1942-43 (22 reti). Il suo record personale di realizzazioni in B è tuttavia della stagione 1946-47, disputata con la squadra della sua città, la Biellese, quando realizza 26 reti, ma fra i marcatori del girone viene superato da Boffi autore di 32 reti col Seregno.
Costanzo ha disputato anche due stagioni in Serie A, con la maglia del Livorno, essenzialmente da rincalzo, totalizzando complessivamente 12 presenze e 2 reti dal 1937 al 1939.
Ha complessivamente totalizzato 143 reti in Serie B dal 1934 al 1947, fatto che costitiusce un record tuttora imbattuto, recentemente avvicinato ma non superato da Stefan Schwoch con 135 realizzazioni (anche se Schwoch ha realizzato tutti i gol in campioanti a girone unico mentre per Costanzo vengono computate anche le reti della stagione 1946-47, disputata in tre gironi).
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