Controllo lineare quadratico gaussiano

Il controllo lineare quadratico gaussiano (Linear Quadratic Gaussian, LQG) è un compensatore dinamico ottimo capace di recuperare la stessa funzione di trasferimento di un sistema di controllo osservabile. Tale sistema di controllo ottimo è basato su un controllore ottimo e un filtro ottimo, il primo sintetizzato tramite regolatore lineare quadratico (LQR) il secondo tramite loop transfer recovery (LTR).

Il problema

Con riferimento al controllo LQR si può avere una robustezza intrinseca forte, che garantisce una specifica di prestazione sulla sensibilità del controllo che scende di 20db/dec in alta frequenza. Ciò vale se il sistema è osservabile, cioè se lo stato del sistema è tutto fornito in uscita: in tal caso la funzione di trasferimento del sistema vista tagliando tra il controllore e il processo risulta:

${\displaystyle \mathbf {U_{0}=K_{opt}} (jw\mathbf {I-A)^{-1}B} \,}$ 

dove j rappresenta l'unità immaginaria e ω è la pulsazione del sistema.

Se invece lo stato è solo rilevabile allora occorre inserire un osservatore dello stato:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\tilde {x}} }{dt}}=\mathbf {(A+VC+BK_{opt}){\tilde {x}}+Vy\,} }$ 

Che modifica la funzione di trasferimento divenendo:

${\displaystyle \mathbf {U_{0}=K_{opt}(jwI-A-VC-BK_{opt})^{-1}VC(jwI-A)^{-1}B\,} }$ 

sfruttando LTR si riesce ad ottenere la stessa prestazione del caso osservabile, recuperando così la robustezza intrinseca garantita per il sistema osservabile controllato in LQR.

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