Viscoelasticità

La viscoelasticità è la proprietà dei materiali che esibiscono delle caratteristiche sia plastiche che elastiche quando vengono sottoposte a deformazione.

I materiali viscosi (come il miele) resistono agli sforzi tangenziali linearmente rispetto al tempo, mentre i materiali elastici si deformano istantaneamente quando vengono sottoposti a delle sollecitazioni esterne e ritornano al loro stato originario quando queste sollecitazioni cessano. I materiali viscoelastici quindi hanno un comportamento intermedio tra quelli anzidetti.

Cenni storici

Nel diciannovesimo secolo, i fisici James Clerk Maxwell, Ludwig Boltzmann e William Thomson Kelvin effettuarono ricerche ed esperimenti riguardanti i fenomeni di scorrimento viscoso e recupero di vari materiali, tra cui: vetro, metalli e gomma^[1]. Il fenomeno della viscoelasticità fu ulteriormente indagato alla fine del ventesimo secolo, durante il quale vennero creati i polimeri sintetici, impiegati in molte applicazioni.^[1]

Comportamento reologico dei fluidi

La determinazione della viscoelasticità dipende dalla viscosità η; la grandezza inversa ad η viene chiamata fluidità f. La viscosità (e di conseguenza la fluidità) dipendono dalla temperatura.^[2]^[3]

Rappresentazione in un diagramma sforzo (

\sigma

) - velocità di deformazione (d

\varepsilon

/dt) dei comportamenti che può assumere un fluido.

Il comportamento del fluido in termini reologici può essere messo in evidenza facendo uso di un diagramma sforzo tangenziale-velocità di deformazione.^[4]

Si possono avere i seguenti casi:

se la velocità di deformazione dipende in maniera lineare dallo sforzo di taglio applicato il fluido è detto "newtoniano".^[2]
se la velocità di deformazione del fluido dipende in maniera non lineare dallo sforzo di taglio applicato, il fluido viene detto "non newtoniano".
Inoltre se la viscosità decresce in modo tale che il tasso di tensione/taglio rimane costante si dice che il fluido è tixotropico^[2].
In aggiunta quando lo sforzo è indipendente dal tasso di tensione, il materiale mostra deformazione plastica.^[2]

Molti materiali viscoelastici mostrano una caratteristica simile alla gomma, spiegata dalla teoria termodinamica dell'elasticità dei polimeri. In realtà tutti i materiali deviano dalla legge di Hooke in vari modi, esibendo sia caratteristiche di viscosità che di elasticità. I materiali viscoelastici sono quelli per cui la relazione tra sforzo e tensione dipende dal tempo. I solidi anelastici rappresentano un sottoinsieme dei materiali viscoelastici: essi hanno un'unica configurazione di equilibrio che ricuperano completamente alla fine dopo aver rimosso o ridotto il carico.

Alcune proprietà dei materiali viscoelastici sono le seguenti:

se lo sforzo si mantiene costante, la tensione cresce con il tempo (stiratura);
se si mantiene costante la tensione, lo sforzo decresce con il tempo (rilassamento);
l'effettiva rigidità dipende dal tasso di applicazione del carico;
se è applicato un carico ciclico, avviene un'isteresi (un ritardo periodico), conducendo ad una dissipazione di energia meccanica;
le onde acustiche subiscono una attenuazione;
il rimbalzo di un oggetto susseguente ad un urto è inferiore del 100%;
durante il rotolamento, compare attrito radente.

Tutti i materiali mostrano qualche proprietà viscoelastica. Di solito i metalli come l'acciaio e l'alluminio, allo stesso modo del quarzo, a temperatura ambiente ed a piccole trazioni, hanno un comportamento che non devia di molto dall'elasticità lineare. I polimeri sintetici, il legno e i tessuti umani come i metalli ad alta temperatura mostrano effetti viscoelastici significativi. Per essere completo, un'analisi o un progetto che coinvolge questi materiali deve considerare anche la loro caratteristica viscoelastica. La conoscenza della caratteristica di viscoelasticità di un materiale è basata su misurazioni.

Alcuni esempi di materiali viscoelastici includono polimeri amorfi, polimeri semicristallini, biopolimeri, metalli ad elevate temperature, e materiali bituminosi. Si hanno delle rotture quando viene applicata una tensione rapida e al di fuori del limite elastico.

Un materiale viscoelastico ha le seguenti proprietà:

isteresi si vede nel diagramma sforzo-deformazione
rilassamento dello sforzo si osserva che applicando una tensione costante a gradini si ha decrescita dello stress
stiramento si osserva: uno stress costante a gradino causa una crescita di tensione.

Comportamento elastico contro comportamento viscoelastico

A differenza di sostanze puramente elastiche, una sostanza viscoelastica ha una componente elastica ed una componente viscosa. La viscosità di una sostanza viscoelastica da alla sostanza la parte di tensione dipendente dal tempo^[2]. I materiali puramente elastici non dissipano energia (calore) quando gli viene applicato, e poi rimosso un carico^[2]. Comunque, una sostanza viscoelastica perde energia quando gli viene applicato, e poi tolto un carico. Si osserva isteresi nella curva di stress-tensione, con l'area del ciclo uguale alla perdita di energia durante il ciclo di caricamento^[2]. Poichè la viscosità è la resistenza alla deformazione plastica attivata termicamente, un materiale viscoso perderà energia dirante un ciclo di carico. Una deformazione plastica risulta in perdita di energia, reazione che non è caratteristica dei materiali puramente elastici durante un ciclo di carico^[2].

Più specificatamente, la viscoelasticità è un riarrangiamento molecolare. Quendo viene applicato uno stress ad un materiale viscoelastico come un polimero, parti di una lunga catena del polimero cambiano posizione. Questo movimento o riarrangiamento è detto stiramento. I polimeri rimangono materiali solidi anche quando queste parti delle loro catene sono ricomposte al fine di sostenere lo stress, e se è necessario, creano uno stress posteriore nel materiale. Quando il retrostress è della stessa grandezza dello stress applicato, il materiare dopo un pò si stira. Quando lo sress originale è rimosso, il retrostress accumulato causerà il ritorno alla forma originale del polimero. il materiale si stira, e ciò da il prefisso visco- ed il materiale si restaura completamente, e da ciò il suffisso -elasticità^[1].

Tipi di viscoelasticità

La viscoelasticità lineare si ha quando la funzione è un'equazione differenziale ordinaria separabile sia nel confronto della stiratura che del carico. Tutti i modelli viscoelastici lineari possono essere rappresentati da una equazione di Volterra che unisce lo stress e la tensione:

\epsilon (t)={\frac {\sigma (t)}{E_{\text{inst,creep}}}}+\int _{0}^{t}K(t-t^{\prime }){\dot {\sigma }}(t^{\prime })dt^{\prime }

oppure

\sigma (t)=E_{\text{inst,relax}}\epsilon (t)+\int _{0}^{t}F(t-t^{\prime }){\dot {\epsilon }}(t^{\prime })dt^{\prime }

dove

t è il tempo
$\sigma (t)$ è lo stress
$\epsilon (t)$ è latensione
$E_{\text{inst,creep}}$ e $E_{\text{inst,relax}}$ sono i moduli elastici per stiratura e rilassamento
K(t) è la funzione di stiramento
F(t) è la funzione di rilassamento.

La viscoelasticità lineare di solito è applicabile solo a piccole deformazioni

La viscoelasticità non lineare si ha quando la funzione non è separabile. di solito si ha quando le deformazioni sono grandi o se il materiale cambia le sue proprietà durante le deformazioni.

Un materiale anelastico è un caso speciale di materiale viscoelastico: Un materiale anelastico recupererà completamente il suo stato originale quando verra rimmosso il carico.

Modulo dinamico

La viscoelasticità viene studiata usando l'analisi meccanica dinamica. quando noi applichiamo una piccola tensione oscillatoria e misuriamo lo stress risultante.

I materiali puramente elastici hanno stress e tensione in fase, cosìcchè il comportamento dell'uno è causato dall'altro è immediatamente evidente
Nei materiali puramente viscosi, la tensione ritarda lo stress di un ritardo di fase di 90 gradi.
I materiali viscoelastici mostrano un comportamento in qualche modo intermedio tra questi due tipi di materiali, mostrando dei ritardi nella tensione.

Il modulo dinamico complesso G può essere usato per rappresentare le relazioni tra gli oscillanti stress e tensione:

G=G'+iG''

dove $i^{2}=-1$ ; $G'$ è il modulo di carico e $G''$ è il modulo di scarico:

G'={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\cos \delta

G''={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\sin \delta

dove $\sigma _{0}$ e $\varepsilon _{0}$ sono le ampiezze dello stress e della tensione e $\delta$ è lo sfasamento tra di loro.

Modelli costitutivi della viscoelasticità lineare

I materiali viscoelastici, come i polimeri amorfi, i polimeri semicristallini ed i biopolimeri, possono essere modellati al fine di determinare le interazioni tra il loro stress e la loro tensione allo stesso modo come le loro dipendenze dal tempo. Questi modelli che includono il Modello di Maxwell, i. Modello di Kelvin-Voigt, e il Modello Lineare Solido Standard, sono usati per determinare un comportamento del materiale sotto differenti condizioni di carico. Il comportamento viscoelastico è compreso tra le componenti elastiche e viscose modellati rispettivamente come combinazioni lineari di sorgenti e affossamenti. Ogni modello differisce nella disposizione di questi elementi, e tutti questi modelli viscoelastici possono essere equivalentemente modellati come circuiti elettrici. In un circuito elettrico equivalente, lo stress è rappresentato dal voltaggio, e la derivata della tensione (velocità) dalla corrente. il modulo elastico di una sorgente è l'analogo di un condensatore (immagazzina energia) e la viscosità di un affossamento è la resistenza del circuito (dissipa energia).

Le componenti elastiche, come mensionato in precedenza, possono essere modellate come sorgenti della costante elastica E, data dalla formula:

\sigma =E\varepsilon

dove s è lo stress, E è il modulo elastico del materiale, ed e è la tensione che si ottiene sotto lo stress dato, simile alla Legge di Hooke.

Le componenti viscose possono essere modellate come affossamenti in modo tale che il contrtibuto della relazione stress-tenzione può essere dato da

\sigma =\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}

dove s è lo stress, ? è la viscosità del materiale, e de/dt è la derivata della tensione.

La relazione tra stress e tensione può essere semplificata per contributi specifici di stress. Per alti stati di stress applicati in brevi periodi di tempo, dominano le componenti derivate della relazione stress-tensione. Un affossamento resiste ai cambi di lunghezza, ed in alti stati di stress può essere approsimato ad un'asta rigida. Poichè un'asta rigida non può essere tesa oltre la sua lunghezza originale, non si aggiunge tensione al sistema^[5]

Modello di Maxwell

Il modello di Maxwell può essere rappresentato da un un ammortizzatore puramente viscoso e da una sorgente puramente elastica connesse in serie, come mostrato nel diagramma. il modello può essere rappresentato dalla seguente equazione:

{\frac {d\epsilon _{Total}}{dt}}={\frac {d\epsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\epsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}

.

Tramite questo modello, se il materiale è posto sotto una tensione costante, gli stress si rilassano gradualmente, Quando il materiale è messo sotto uno stress costante, la tensione ha due componenti. La prima, una componente elastica, compare istantaneamente, corrisponde alla sorgente e si rilassa immediatamente dopo l'interruzione dello stress. la seconda è una componente viscosa che cresce con il tempo fino a quando viene applicato lo stress. Il mdello di Maxwell stabilisce che lo stress decade esponenzialmente con il tempo, cosa che è esatta per molti polimeri. Una limitazione a questo modello è che non indica precisamente la stiratura. Il modello di Maxwell per la stiratura o le condizioni di stress costante postula che la tensione cresce con il tempo. Comunque, i polimeri, per la maggior parte mostrano che il tasso di tensione decresce con il tempo^[1].

L'applicazione a solidi soffici: polimeri termoplastici in vicinanza della loro temperatura di fusione, rinnova concretamente (cancella l'invecchiamento) di numerosi metalli a temperature vicine al loro punto di fusione.

Modello di Kelvin-Voigt

Rappresentazione chematica di un modello di Kelvin-Voigt.

Il modello di Kelvin-Voight, noto anche come modello di Voigt, consiste di un ammortizzatore Newtoniano e di una sorgente elastica Newtoniana connessi in parallelo, come mostrato in figura. è uato per spiegare le proprietà di stiratura dei polimeri.

La relazione costituita è espressa come un'equazione lineare differenziabile del primo ordine:

\sigma (t)=E\epsilon (t)+\eta {\frac {d\epsilon (t)}{dt}}

Questo modello rappresenta una tensione reversibile sotto forma solida e viscoelastica. Sotto l'applicazione di uno stress costante, il materiele si deforma ad un tasso decrescente, approssimandosi asintodicamente ad uno stato stabile di tensione. Quando è rimosso lo stress , il materiale si rilassa gradualmente fino al suo stato non deformato. Sotto stress costante (stiratura), il Modello è abbastanza realistico poichè indica che la tensione tende ad s/E quando il tempo tende ad infinito. Come il modello di Maxwell, anche il modello di Kelvin-Voight ha delle limitazioni. Il modello è estremamente buono per modellare gli stiramenti nei materiali, ma per quanto riguarda il rilassamento è molto meno accurato.

Applicazioni: polimeri organici, gomma, legno quando il carico non è troppo alto.

Modello Linearmente Solido Standard

Rappresentazione schematica del Modello Lineare Solido Standard.

Il Modello Lineare Solido Standard effettivamente combina il Modello di Maxwell e una sorgente Hookiana in parallelo: un materiale viscoso è modellato come una sorgente ed un affossamento in serie tra loro, ed entrambi in parallelo con la sorgente solitaria. Per questo modello , la relazione costitutiva governante è:

{\frac {d\varepsilon }{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma }{dt}}+\sigma -E_{1}\varepsilon \right)}{E_{1}+E_{2}}}

Sotto uno stress costante, il materiale modellato si deformerà istantaneamente con qualche tensione, che è la parte elastica della tensione, e dopo questo continuerà a deformarsi asintodicamente avvicinandosi ad una condizione di staticità della tensione. Quest'ultima porzione è la parte viscosa della tensione. Sebbene il Modello Lineare Solido Standard è più accurato dei modelli di Maxwell e Kelvin-Voight nell'individuare proprietà dei materiali, matematicamente restituisce risultati inaccurati per la tensione sotto specifiche condizioni di carico e quindi assai difficile da calcolare.

Modello di Maxwell Generalizzato

Schematica di un Modello Maxwell-Weichert

Il Modello di Maxwell generalizzato noto anche come modello di Maxwell-Weicher (da James Clerk Maxwell e Dieter Weichert) è la forma più generale di modelli descritti in precedenza. Esso tiene conto del fatto che il rilassamento non avviene in una sola volta, ma in una distribuzione di intervalli di tempo. Dovuta a segmenti molecolari di lunghezze differenti contribuisce menocon quelli più corti che non con quelli più lungi, c'e una distribuzione variabile con il tempo. Il Modello di Weichert mostra questo con l'avere molte sorgenti e affossamenti elementi di Maxwell come sono necessari per rappresentare accuratamente la distribuzione. La figura a destra raffigura un possibile modello di Weicher^[6]. Applicazioni: metalli e alloidi a temperature inferiori ad un quarto della loro temperatura di fusione assolute (espressa in K)

Effetti della temperatura sulle proprietà viscoelastiche

I legami secondari di un polimero si rompono e si riformano costantemente a causa del moto termico. Le applicazioni dello stress favoriscono alcune conformazioni rispetto altre, così le molecole del polimero con il tempo scivoleranno gradualmente nella conformazione favorita^[7]. perciò il moto ermico è uno dei fattori cje contribuisce alla deformazione dei polimeri, le proprietà viscoelatiche cambiano con il crescere o il decrescere della temperatura. Nella maggioranza dei casi il modulo di stiratura, definita come il rapporto dello stress applicato con la tensione dipendente dal tempo, decresce con il crescere della temperatura. Parlando in generale, una crescita della temperatura è correlata ad una decrescita logaritmica nel tempo richiesta per spartire una tensione uguale sossto uno stress costante. in altre parole, occorre meno lavoro per allungare un materiale per una lunghezza uguale alle alte temperature che alle basse.

Stiramento viscoelastico

Quando sono soggetti a uno stress costante a tratti, I materiali viscoelastici subiscono un aumento della tensione dipendente dal tempo. Questo fenomeno è noto come stiramento viscoelastico.

Al tempo $t_{0}$ , , un materiale viscoelastico è caricato con uno stress costante che è mantenuto per un periodo sufficientemente lungo. Il materiale risponde allo stress con una tensione che aumenta fino a che alla fine il materiale si rompe. quando lo stress è applicato per un periodo di tempo inferiore, il materiale è sottoposto ad una tensione iniziale fino al tempo $t_{1}$ , dopo il quale la tensione decresce immediatamente (discontinuità) dopo nei tempi $t>t_{1}$ decresce gradualmente ad una tensione residua. I dati dello stiramento viscoelastico possono essere presentati scrivendo il modulo di stiramento (stress costante applicato diviso per la tensione totale in un particolare momento) come una funzione del tempo^[8]. al di sotto del suo stress critico, il modulo di stiramento viscoelastico è indipendente dallo stress applicato. Una famiglia di curve che descrive la tensione rispetto alla situazione nel tempo con vari stress applicati può essere rappresentata da un singolo modulo di stiramento viscoelastico rispetto ad una curva temporale se gli stress applicati sono al di sotto del valore critico di stress del materiale.

Lo stiramento viscoelastico è importante quando si considerano disegni strutturali a lungo termine. Date le condizioni di temperatura, di carico, i designers possono scegliere i materiali che favoriscono meglio la durata dei componenti.

Misurazioni della viscoelasticità

Sebene ci sono molti strumenti che testano le proprietà meccaniche e viscoelastiche dei materiali, lo spettroscopio viscoelastico a banda larga(BVS) e lo spettroscopio a risonanza ultrasonica (RUS) sono i più comunemente usati per testare le caratteristiche viscoelastiche poichè possono essere usati sia a temperature superiori che a quelle inferiori della temperatura ambiente e sono i più specifici per testare la viscoelasticità. Questi due strumenti utilizzano un meccanismo di pressione a varie frequenze e range temporali indipendenti dalle sovrapposizioni temperatura-tempo^[9]. L'uso del BVS o del RUS per studiare le proprietà meccaniche dei materiali è importante per capire come si comporterà un materiale rispetto alla viscoelasticità^[9].

Rilassamento viscoelastico

In materiali come i polimeri termoplastici si osserva un rilassamento delle tensioni, detto rilassamento viscoelastico, portate a seguito di una certa deformazione imposta, il fenomeno si spiega con lo sgrovigliamento delle catene macromolecolari, sgrovigliamento che necessita di un certo tempo per compiersi.

Note

^ ^a ^b ^c ^d McCrum, Buckley, and Bucknell (2003): "Principles of Polymer Engineering," 117-176.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 98-103.
^ http://pcfarina.eng.unipr.it/dispense00/gallinari110285/gallinari110285.htm
^ http://www.galenotech.org/reologia2.htm
^ Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Mechanical Behavior of Materials", [1]
^ Roylance, David (2001); "Engineering Viscoelasticity", 14-15
^ S.A. Baeurle, A. Hotta, A.A. Gusev, Polymer 47, 6243-6253 (2006).
^ Rosato, et. al (2001): "Plastics Design Handbook," 63-64.
^ ^a ^b Rod Lakes (1998): Viscoelastic solids, CRC Press.

Bibliografia

Silbey and Alberty (2001): Physical Chemistry, 857. John Wiley & Sons, Inc.
Allen and Thomas (1999): "The Structure of Materials," 51.
Crandal et al. (1999): "An Introduction to the Mechanics of Solids" 348
J.Lemaitre and J.L. Chaboche (1994)" Mechanics of solid materials

Voci correlate

Portale Fisica

Portale Ingegneria

[McCrum-1] McCrum, Buckley, and Bucknell (2003): "Principles of Polymer Engineering," 117-176.

[Meyers-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Meyers and Chawla (1999): "Mechanical Behavior of Materials," 98-103.

[3] ttp://pcfarina.eng.unipr.it/dispense00/gallinari110285/gallinari110285.htm

[4] ttp://www.galenotech.org/reologia2.htm

[VanVliet-5] Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Mechanical Behavior of Materials", [1]

[Roylance-6] Roylance, David (2001); "Engineering Viscoelasticity", 14-15

[7] S.A. Baeurle, A. Hotta, A.A. Gusev, Polymer 47, 6243-6253 (2006).

[Rosato-8] Rosato, et. al (2001): "Plastics Design Handbook," 63-64.

[Lakes-9] Rod Lakes (1998): Viscoelastic solids, CRC Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]