Gamma di Dirac

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Le gamma o matrici di Dirac sono matrici 4×4 utilizzate all'interno dell'equazione di Dirac, una equazione scritta per portare il linguaggio della relatività einsteiniana nella meccanica quantistica. In effetti le scelte per le matrici da utilizzare sono varie, a patto che tali matrici rispettino alcune regole importanti. Prima di tutto devono seguire una regola di anticommutazione:

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu };\gamma ^{\nu }\right\}=2g^{\mu \nu }I}$

quindi deve accadere che:

${\displaystyle \gamma ^{0}=\left(\gamma ^{0}\right)^{+},\gamma ^{i}=-\left(\gamma ^{i}\right)^{+}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{0}=I,\gamma ^{i}\gamma ^{i}=-I}$

dove I è la matrice identità, ⁺ è il trasposto coniugato ed i un indice che va da 1 a 3. Da ciò, in quattro dimensioni:

${\displaystyle \gamma ^{\rho }\gamma ^{\rho }=4I}$.

Si ha in pretica che le matrici di Dirac soddisfano all'Algebra di Clifford.

La rappresentazione di Dirac

Una delle rappresentazioni più diffuse per le matrici di Dirac è la seguente, detta appunto rappresentazione di Dirac, costruita a partire dalla matrice identità e dalle matrici di Pauli ${\displaystyle \left(\sigma ^{i}\right)}$  :

${\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}}$ 

In questa rappresentazione le quattro matrici di Dirac controvarianti sono:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.}$ 

Da queste quattro matrici è possibile costruire 16 prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

${\displaystyle \Gamma ^{S}=I;\Gamma ^{V}=\gamma ^{\mu };\Gamma _{\mu \nu }^{T}=\sigma _{\mu \nu };\Gamma ^{P}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{5};\Gamma ^{A}=\gamma ^{5}\Gamma ^{V}}$ 

dove

${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }\right]}$ 

Queste Γ, oltre ad essere una base per lo spazio delle matrici 4×4, rispettano alcune regole:

1. ${\displaystyle \left(\Gamma ^{n}\right)^{2}=\pm 1}$ 
2. ${\displaystyle \Gamma ^{n}\neq \Gamma ^{S},\exists \Gamma ^{m}:\Gamma ^{n}\Gamma ^{m}=-\Gamma ^{m}\Gamma ^{n}}$ 
3. ${\displaystyle \Gamma ^{n}\neq \Gamma ^{S},\operatorname {tr} \Gamma ^{n}=0}$ 
4. ${\displaystyle \Gamma ^{a},\Gamma ^{b},\exists \Gamma ^{n}\neq \Gamma ^{S}:\Gamma ^{a}\Gamma ^{b}=\Gamma ^{n}}$ 
5. ${\displaystyle {\mbox{se }}\sum _{i=1}^{16}a_{i}\Gamma ^{i}=0,{\mbox{ allora }}a_{i}=0\forall i}$ 

Infine, combinando le γ con gli spinori, è possibile definire una quadricorrente:

${\displaystyle j^{\mu }(x)={\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$ 

dove

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)=\psi ^{+}(x)\gamma ^{0}}$ 

Bisogna notare che gli indici che distinguono queste matrici sono dei veri e propri indici tensoriali, cioè ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$  è un quadrivettore che si trasforma sotto una generica trasformazione di Lorentz ${\displaystyle \Lambda }$  secondo:

${\displaystyle S\gamma ^{\mu }S^{-1}=\Lambda _{\nu }^{\mu }\gamma ^{\nu }}$ 

dove ${\displaystyle S=S(\Lambda )}$  è la rappresentazione della trasformazione sugli spinori che intervengono nell'equazione di Dirac.

Equazione di Dirac

L'equazione di Dirac, che descrive in modo relativisticamente invariante il moto delle particelle a spin semi-intero (fermioni), nasce come tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'equazione di Klein-Gordon. Tale equazione di Klein-Gordon, infatti, non solo aveva soluzioni ad energia positiva ma anche soluzioni ad energia negativa, ma soprattutto presentava una difficoltà nell'interpretazione della funzione d'onda: tale difficoltà nasceva dal fatto che la densità di probabilità poteva anche assumere valori negativi o nulli, ovvero non era definita positivà.

Le matrici di Pauli

Le matrici di Pauli sono un insieme di matrici 2×2 complesse hermitiane unitarie. Usualmente indicate dalla lettera greca σ (sigma), esse possono anche essere indicate con τ (tau) quando utilizzate in connessione con la simmetria di isospin. Devono il loro nome al fisico Pauli e sono così definite:

${\displaystyle \sigma _{1}\equiv \sigma _{x}\equiv {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \sigma _{2}\equiv \sigma _{y}\equiv {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle \sigma _{3}\equiv \sigma _{z}\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ 

Bibliografia

• Feynman, R.P., QED: La strana teoria della luce e della materia, Adelphi, ISBN 8845907198
• Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics (John Wiley & Sons 1997) ISBN 0471184330
• Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., The Theory of Photons and Electrons (Springer-Verlag, 1980)
• Feynman, R. P. Quantum Electrodynamics (Perseus Publishing, 1998) [ISBN 0201360756]

Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Bosoni
• Bosoni vettore
• Bosoni vettori assiali
• Diagramma di Feynman
• Equazione di Dirac
• Fotoni
• Lista delle particelle
• Modello Standard
• Notazione slash di Feynman
• Propagatore
• Scattering

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Marcello Ciafaloni Complementi di Fisica Teorica: Introduzione alla teoria dei campi (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Elettrodinamica Quantistica (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Teoria dei campi: Storia e Introduzione (Università di Firenze, 2001)

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