Numero p-adico

Il sistema dei numeri p-adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo p, il sistema dei numeri p-adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri.

L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri p-adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei p-adici rappresenta una forma alternativa di calcolo.

Più concretamente per un dato numero primo p, il campo Q_p dei numeri p-adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi Q_p vengono considerati collettivamente, arriviamo al principio locale-globale di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri p-adici per ogni p. Il campo Q_p possiede una topologia derivata da una metrica, che è, a sua volta, derivata da una stima alternativa dei numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge.

Nel campo delle curve ellittiche, i numeri p-adici sono conosciuti come numeri ${\displaystyle \ell \,\!}$-adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo p è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve.

Motivazioni

L'introduzione più semplice ai numeri p-adici è considerare i numeri 10-adici, che sono gli interi con un infinito numero di cifre a sinistra. Si prenda per esempio il numero ...9999, dove i puntini a sinistra indicano un numero infinito di cifre "9", e si eseguano su di esso delle operazioni aritmetiche. Eseguendo la semplice operazione di sommare il numero 1 (che in formato p-adico è ...0001), otteniamo:

${\displaystyle {\frac {\;\;\;...9999 \atop +...0001}{...0000}}}$ 

come si può facilmente vedere lavorando da destra a sinistra e riportando sempre un 1. Per i numeri 10-adici si ha quindi che ...9999 = -1. Ne segue che gli interi negativi possono essere rappresentati come una serie di cifre, dove quelle a sinistra sono 9. Gli esperti di informatica avranno notato che questa "tecnica" è del tutto analoga alla notazione complemento a due, nella quale i numeri negativi sono scritti con una serie di 1 a sinistra; nei 2-adici avviene esattamente la stessa cosa. In generale, si avrà la cifra p-1 per i numeri p-adici.

Costruzione

Approccio analitico

L'approccio analitico consiste nel considerare all'interno di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  non la norma euclidea, ma appunto la norma p-adica definita da:

${\displaystyle ||x||_{p}=\left({\frac {1}{p}}\right)^{n}}$  dove ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$  è scritto in forma irriducibile, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$  tale che ${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$ , ${\displaystyle p\nmid a,p\nmid b}$ .

Ovviamente da questa norma si definisce di conseguenza una distanza e si può quindi parlare di convergenza di successioni.

In questo modo i numeri p-adici ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  vengono definiti come il completamento secondo Cauchy di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  con la norma p-adica.

Viene definita anche la valutazione p-adica ${\displaystyle v_{p}(a)=\log _{\frac {1}{p}}||a||_{p}}$ 

Approccio algebrico

L'approccio algebrico consiste nel considerare ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  come il campo dei quozienti di ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ , che a sua volta è il limite proiettivo di ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}$ .

La caratteristica di ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$  è 0 ed infatti il suo sottocampo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , e che ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}}$ si vede immediante dalla costruzione analitica.

Rappresentazione

Un modo comune di rappresentare un numeri p-adico ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$  è il seguente:

${\displaystyle a=\sum _{i=n}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ 

con ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ , dove ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$  non è altro che la valutazione p-adica ${\displaystyle v_{p}(a)}$  e ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1}$  per ogni ${\displaystyle i}$ .

La convergenza di questa serie è garantita dal fatto che con la norma p-adica ${\displaystyle \lim _{m\rightarrow +\infty }\sum _{i=m}^{\infty }a_{i}p^{i}=0}$ 

A volte viene utilizzata anche la seguente rappresentazione: ${\displaystyle a=(a_{-k}a_{-k+1}\dots a_{0},a_{1}\dots a_{n}\dots )}$  dove gli ${\displaystyle a_{i}}$  sono i coefficienti della serie precedentemente considerata. Da notare la virgola presente dopo ${\displaystyle a_{0}}$ , i numeri precedenti alla virgola sono in numero finito, mentre quelli successivi in numero infinito, eventualmente si possono ripetere da un certo punto in poi in modo periodico.

Proprietà

Generalizzazioni e argomenti correlati

Voci correlate

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