Funzione di Cantor
In matematica, la funzione di Cantor è un esempio di funzione continua e crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.
Definizione
Con le basi
La funzione di Cantor f:[0, 1] → [0, 1] è definita nel modo seguente:
- Scriviamo ogni numero x in [0, 1] in base tre. Con questa notazione, 1/3 si scrive come 0.13 e 2/3 si scrive come 0.23. Notiamo che i numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come 0.0222...3 (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".
- Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le successive con "0".
- Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".
- Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è f(x).
Ad esempio:
- 1/4 = 0.02020202...3 diventa 0.01010101...2 = 1/3. Quindi f(1/4)=(1/3).
- 1/5 = 0.01210121...3, al passo 2 diventa 0.02000000..., quindi 0.01000000...2 = 1/5. Quindi f(1/5)=1/4.
Come limite di una successione
La funzione si può anche definire come limite di una successione di funzioni definite in [a,b], costruite in questo modo:
- Sia ;
- Sia la poligonale continua e non decrescente di lati con vertici nei punti per k = 1,..,2n.
In generale si può notare che per ogni n∈N risulta fn(0)=0, fn(1)=1 e che la fn ha 2n lati obliqui di coefficiente angolare (3/2)n che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli Ik(n), k=1,...,2n, e inoltre ha 2n-1 lati orizzontali che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli Jk(n) e per cui è f(Jk(n)) = {k/2n}, k = 1,...,2n-1. In figura sono sovrapposte f0, f1 e f2.
Inoltre si può "costruire" la n+1-esima poligonale fn+1 come una modificazione della fn, nel senso che è fn+1 = fn in Jk(n) per ogni k = 1,...,2n-1, mentre ogni lato obliquo di fn (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo Ik(n)) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I2k-1(n+1) e I2k(n+1), e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J2k-1(n+1).
Risultando , da ciò ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in [0,1] dunque per n→∞ converge uniformemente a una funzione limite, che è detta funzione di Cantor.
![{\displaystyle sup_{p\in \mathbb {N} \ }[max_{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|]\leq \ {\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1985303554490b403b0f2606ec3b849cf22fb5c8)
Proprietà
La funzione di Cantor è una funzione continua, crescente e suriettiva dall'intervallo [0, 1] in sé. Non è assolutamente continua. Non è derivabile in nessun punto dell'insieme di Cantor, mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante al di fuori dell'insieme di Cantor, che ha misura nulla: nonostante questo, è crescente.
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo [0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è numerabile. Questa funzione è utile per definire una curva di Peano, cioè una curva che riempie totalmente un quadrato.