Particella libera

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In meccanica quantistica lo studio della particella libera in una dimensione è uno dei principali problemi che si affrontano. Con particella libera si intende il fatto che essa non è sottoposta ad alcun potenziale; lo studio in una dimensione è inoltre importante perché molti problemi tridimensionali si riducono a problemi equivalenti unidimensionali.

Caso unidimensionale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger.

L'equazione di Schrödinger stazionaria, in una dimensione, è in generale

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)+V(x)\,\phi (x)=E\,\phi (x),}$ 

dove m è la massa della particella ed E l'energia dello stato ${\displaystyle \phi }$ .

Nel caso ${\displaystyle V(x)=0}$ , si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=E\,\phi (x).}$ 

Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\phi (x)=-k^{2}\cdot \phi (x),}$ 

dove ${\displaystyle k={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}}$  è un parametro reale se ${\displaystyle E>0}$ . La soluzione generale, dipendente da ${\displaystyle k}$ , può essere scritta nella forma

con A,B coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo la condizione al contorno che la funzione d'onda contenga solo una componente progressiva, si ottiene ${\displaystyle B=0}$  e

${\displaystyle \phi _{k}(x)=Ae^{ikx},}$ 

La costante A si ottiene imponendo la normalizzazione degli stati ${\displaystyle \phi _{k}}$ . ^[1]

In generale, l'operatore hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$  e l'operatore quantità di moto ${\displaystyle {\hat {p}}}$  della particella libera commutano, così vale anche per l'energia cinetica ${\displaystyle {\hat {K}}={\hat {p}}^{2}/(2m)}$ :

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {p}}]=\left[{\hat {H}},{\hat {K}}\right]=0.}$ 

Quindi, gli operatori ${\displaystyle {\hat {H}}}$ , ${\displaystyle {\hat {K}}}$ , e ${\displaystyle {\hat {p}}}$  ammettono una base comune di autostati. Si può verificare che la soluzione generale dell'equazione di Schrödinger è autofunzione della quantità di moto, essendo:

${\displaystyle (-i\hbar {\frac {d}{dx}})\,\phi _{k}(x)=A\hbar ke^{ikx}=\hbar k\,\phi _{k}(x).}$ 

L'evoluzione temporale dello stato ${\displaystyle \phi _{k}}$  da luogo a un'onda piana,

${\displaystyle \psi _{k}(x,t)=A\,e^{-iE_{k}t/\hbar +ikx}=\phi _{k}(x)\,e^{-iE_{k}t/\hbar },}$ 

di energia ${\displaystyle E_{k}=p^{2}/(2m)}$  e quantità di moto ${\displaystyle p=\hbar \,k}$ , che viaggia con frequenza:

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {E_{k}}{\hbar }}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}},}$ 

il cui vettore d'onda è k. Questa è soluzione dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\,\psi (x,t),}$ 

per una particella libera, ${\displaystyle V(x)=0}$ , preparata nello stato iniziale ${\displaystyle \psi _{(}x,0)=\phi _{k}(x)}$ .

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare dei vari $\psi_k$:

${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k}c_{k}\,\psi _{k}(x,t),}$ 

in cui i coefficienti ${\displaystyle c_{k}}$  sono normalizzati ad uno,

${\displaystyle \sum _{k}\,\vert c_{k}\vert ^{2}=1,}$ 

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

Lo spettro energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso ${\displaystyle E_{0}=0}$ ) è doppiamente degenere, perché ad ogni autovalore ${\displaystyle E_{k}\neq 0}$  corrispondono le autofunzioni ${\displaystyle \phi _{k}}$  e ${\displaystyle \phi _{-k}}$ . ^[2]

Caso tridimensionale

  Lo stesso argomento in dettaglio: Particella libera tridimensionale.

In meccanica quantistica la particella libera tridimensionale è un tipico esempio di propagazione di onde sferiche. Essa è descritta da un'equazione di Schrödinger radiale tridimensionale derivata dal moto in un campo centrale in cui il potenziale è nullo. In effetti l'equazione radiale per campi a simmetria sferica è sempre la stessa mentre la soluzione della parte angolare del sistema è sempre data in termini di Armoniche sferiche, in particolare introducendo il momento angolare orbitale.

Voci correlate

• Buca di potenziale
• Gradino di potenziale
• Particella in una scatola
• Oscillatore armonico quantistico

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1. ^ Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della Delta di Dirac

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\psi _{k^{\prime }}^{\ast }(x)\psi _{k}(x)=\vert A\vert ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{i(k-k^{\prime })x}=2\pi \vert A\vert ^{2}\delta (k^{\prime }-k),}$ 

   per cui si può porre ${\displaystyle A={\frac {1}{2\pi }}}$ 
2. ^ In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda.