Modulo di elasticità

Il modulo di elasticità è una grandezza caratteristica di un materiale esprimente il rapporto tra tensione e deformazione.

Si hanno tre distinti moduli di elasticità:

• modulo di elasticità longitudinale o modulo di Young ${\displaystyle E={\sigma \over \epsilon }}$

con σ = forza applicata / area di applicazione (misurata in pascal)
e ε = allungamento relativo (adimensionale)

• modulo di comprimibilità definito come rapporto tra la pressione idrostatica σ_c e la variazione unitaria di volume Δ V / V₀

• modulo di elasticità tangenziale o di scorrimento ${\displaystyle G={\tau \over \gamma }}$

Le variabili di influenza nei metalli

Nel seguito si analizzeranno alcune variabili importanti nello studio del modulo di elasticità dei materiali metallici. In generale qualsiasi azione che vari la distanza di equilibrio fra gli atomi o le forze di legame modifica la tangente alla curva di Condon Morse e quindi il modulo di elasticità.

• Temperatura: il modulo di elasticità longitudinale diminuisce al crescere della temperatura.
• Composizione chimica: un elemento inserito in una matrice metallica altera la distanza fra gli atomi e le forze interatomiche, soprattutto se è un non metallo e quindi forma legami più forti. Nelle soluzioni il modulo di Young è quasi lineare, nei sistemi eutettici ha una leggera concavità, in corrispondenza dei composti intermetallici presenta una brusca deviazione di pendenza. Importante è comunque notare che una ristretta variazione della concentrazione del soluto non altera apprezzabilmente il modulo E, che infatti è ritenuto pari a 210 000 N/mm² per tutti gli acciai al carbonio e basso legati.
• Incrudimento: soprattutto su reticoli non CFC, l'effetto è trascurabile.
• Anisotropia cristallina: la trafilatura a freddo aumenta i moduli elastici misurati nella direzione di lavorazione.
• Trattamenti termici, ad esempio la tempra, hanno un'influenza trascurabile.

Modulo di elasticità longitudinale del calcestruzzo

Il modulo E del calcestruzzo non è costante come per l'acciaio, poiché il calcestruzzo segue mediocremente la legge di Hooke.
Inoltre poiché lo scostamento dalla legge di Hooke è maggiore a trazione che a compressione risulta che il modulo E_c a compressione è diverso da quello a trazione E_ct.
Il comportamento del calcestruzzo può essere approssimato dalla legge di Hooke se soggetto a sforzi di compressione di breve durata e di intensità non superiore al 40% della sua resistenza a compressione (se riferita a f_ck^[1], se riferita a R_ck ^[2] la percentuale è pari a circa il 30% essendo f_ck≈0,83 R_ck) oppure a sforzi di trazione di intensità non superiore al 70% della sua resistenza a trazione.

Parametri che influenzano E

Il modulo di elasticità del calcestruzzo è una quantità decisamente variabile in funzione di diversi parametri tecnologici quali:

• la classe di resistenza del calcestruzzo: è confrmato sperimentalmente che all'aumentare della resistenza del calcestruzzo cresce E ma aumenta la fragilità del conglomerato. La letteratura tecnica riporta diverse fromule empiriche che mettono in correlazione il modulo elastico e la resistenza caratteristica;
• le caratteristiche specifiche dei suoi componenti;
• composizione granulometrica;
• le modalità di posa in opera;
• il grado di maturazione.
  

Pertanto, nell'ambito della stessa struttura, è ben difficile che elementi strutturali differenti, realizzate in momenti diversi e con materiali ovviamente dissimili, presentino uguali caratteristiche elastiche, con l'inevitabile conseguenza di un imprevisto irrigidiemnto delle zone di migliore qualità.

Diagramma σ - ε

 

Legame costitutivo calcestruzzo

Esaminiamo la risposta istantanea del calcestruzzo. Se sottoponiamo un provino di calcestruzzo cilindrico ad una prova rapida di compressione si avrà il seguente andamento: fino a valori della tensione di compressione pari a circa il 40% di quella di rottura f_c si registra un andamento del diagramma approssimativamente rettilineo ^[3].

Per sforzi di intensità maggiori il diagramma risulta sensibilmente parabolico fino ad un valore della deformazione denominato ε_c1^[4]. A tale valore corrisponde anche la massima tensione di compressione f_c che è praticamente il valore della tensione di rottura.

Il cedimento del provino non è però istantaneo, essendo collegato ad un precesso di microfessurazione in rapida evoluzione. Segue pertanto un secondo tratto discendente (comportamento softening) dall'andamento curvilineo, limitato dalla defromazione ultima di rottura denominata ε_cu, cui corrisponde un valore finale della tensione sul provino σ_cu alquanto inferiore al valore massimo registrato in precedenza^[5].

All'atto dello scarico la deformazione è solo parzialmente reversibile e la parte irreversibile aumenta con l'aumentare dello sforzo. Se dopo l'applicazione di carichi di breve durata si vuole tener conto di defromazioni irreversibili il valore di E va ridotto del fattore 0,85.
Come si evince la risposta istantanea è difficilmente confinabile nell'ambito della teoria di elasticità lineare, in quanto il materiale presenta spiccate caratteristiche di non linearità e di plasticità si dai livelli più bassi di cimento.

Si verifica inoltre che già per bassi valori di sforzo, le deformazioni sono tanto più elevate quanto più lenta è la velocità di carico e quanto più lunga è la durata della sua applicazione. Pertanto le considerazioni riguardanti la risposta istantanea di un calcestruzzo diventano più marcate per effetto di carichi che permangono per lunghi periodi a seguito della comparsa di deformazioni differite nel tempo (fenomemo del fluage), le quali, si sommano a quelle immediate.

Effetti sulle previsioni di calcolo

La varibilità dei moduli tangenti, la non linearità meccanica, l'effetto della viscosità interessano l'intera struttura in calcestruzzo armato in maniera generalmente non uniforme, pertanto questi parametri diventano responsabili di modificazioni nello stato di cimento rispetto alle previsioni di calcolo, a causa del cumularsi di deformazioni permaneti e di stati di coazione generalmente non previsti nel calcolo

Modulo tangente e modulo secante

Per rappresentare le proprietà elastiche del calcestruzzo, si può fare riferimento sia al modulo elastico tangente E_c, ovvero alla pendenza della tangente alla curva σ - ε all'origine, sia al modulo di elasticità secante E_cm, ovvero alla pendenza della secante passante per l'origine e per il punto di ordinata 0,4 f_c
Si ritiene che il modulo tangente all'origine sia maggiore di circa il 10% del valore del secante.

Variazioni del tempo

Secondo l'Eurocodice 2 la variazione del modulo di elasticità nel tempo si può stimare con la relazione:

E_cm(t) = [f_cm(t)/f_cm]^0,3 E_cm

con

• E_cm(t) e f_cm(t) sono i valori del modulo secante e della resistenza media del calcestruzzo all'età t
• E_cm e f_cm sono i valori del modulo secante e della resistenza media del calcestruzzo a 28 giorni

Applicazioni

Benché, a causa della non linearità meccanica del calcestruzzo e dell'insorgere sotto carico delle deformazioni viscose (fluage), il modulo di elasticità E si può considerare costante solo per bassi livelli di sforzo e per brevi durate del carico, i valori istantanei (tangente o secante) di E vengono utilizzati per effettuare l'analisi lineare di strutture staticamente indeterminate. Mantre per l'analisi non lineare fino allo stato limite ultimo è necessaria la conoscenza completa della curva sforzo - deformazione.

Convenzionalmente, nel metodo degli stati limite, al fine di valutare la resistenza ultima di una struttura, si usa un'analisi lineare per determinare le caratteristiche della sollecitazione indotte dai carichi e si tiene conto della reale non linearità della legge costituitiva del materiale solo nella fase finale di verifica delle sezioni.

Normativa italiana

In merito al valore del modulo elastico a compressione istantaneo da utilizzare in sede di progettazione la normativa, in mancanza di sperimentazione diretta, propone le seguenti formule empiriche:

• D.M. 9 gennaio 1996: fa riferimento al valore tangente all'origine: E_c = 5700√R_ck (N/mm²);
• D.M. 14 gennaio 2008: fa riferimento al modulo secante tra la tensione nulla e 0,40 f_cm ^[6]: E_cm = 22.000(f_cm/10)^0,3 (N/mm²)
• Eurocodice 2: fa riferimento al valore medio del modulo secante tra la tensione nulla e 0,40 f_c: E_cm =9,5√(f_ck +8) (N/mm²)

Queste formule non sono applicabili a calcestruzzi maturati a vapore, in quanto, in questo caso, il calcestruzzo ha maggiore deformabilità e quindi un modulo elastico di molto inferiore.

Qualora si voglia conoscere con maggiore precisione il valore del modulo elastico occorre richiedere la sua misura mediante apposita prova (UNI 6556).

Modulo E dinamico

In letteratura tecnica vengono riportati i moduli E dinamici, che sono spesso più elevati di quelli statici. Questi vengono determinati ad esempio con preve ad ultrasuoni con una rapidissima variazione di tensione, quindi con un'elevata frequenza di oscillazione.

Il livello della tensione non può più svilupparzi nell'intero manufatto, per cui la deformazione risulta minore e il odulo E diviene apparentemente più grande. Il modulo E dinamico non può quindi essere impiegato per i calcoli delle deformazioni nelle costruzioni in calcestruzzo armato.

Note

1. ^ f_ck è la resistenza a compressione cilindrica caratteristica del calcestruzzo a 28 giorni
2. ^ R_ck è la resistenza a compressione cubica caratteristica del calcestruzzo a 28 giorni
3. ^ non si ha una sensibile propagazione delle microfessure nella matrice cementizia; il comportamento macroscopico è prossimo a quello elastico
4. ^ le microfessure si propagano al crescere del carico, ma la propagazione si arresta giungendo ad un nuovo assetto stabile. Il comportamento macroscopico è sempre più marcatamente non lineare
5. ^ dall'85% del carico di rottura in su, la propagazione delle microfessure diventa instabile; esse possono estendersi nel tempo, sotto carico costante, portando alla rottura. Per questo motivo la tensione di rottura misurata con prove a breve durata è maggiore si quella che si rileva per carichi di lunga durata
6. ^ f_cm è il valore medio della resistenza cilindrica e vale f_cm = f_ck + 8

  Portale Ingegneria: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di ingegneria