Regole di derivazione

In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni "semplici" e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione

Regole	Derivazione
Regola della somma (linearità)	${\displaystyle D[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha f'(x)+\beta g'(x)\,}$ [1] ${\displaystyle \qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$
Regola del prodotto (o di Leibniz)	${\displaystyle D[{f(x)g(x)}]=D[f(x)]\cdot g(x)+f(x)\cdot D[g(x)]}$
Regola del quoziente	${\displaystyle D\left[{f(x) \over g(x)}\right]={f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \over g(x)^{2}}}$
Regola della funzione reciproca	${\displaystyle D\left[{1 \over f(x)}\right]=-{f'(x) \over f(x)^{2}}}$
Regola della funzione inversa	${\displaystyle D[f^{-1}(x)]={1 \over f'(f^{-1}(x))}}$
Regola della catena	${\displaystyle D\left[f\left(g(x)\right)\right]=f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)}$

1. ^ D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata

Derivate fondamentali

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali

• ${\displaystyle D(a)=0\,,\,a{\mbox{ costante}}}$ 
• ${\displaystyle D(x)=1\,}$ 
• ${\displaystyle D(ax)=a\,,\,a{\mbox{ costante}}}$ 
• ${\displaystyle D(x^{2})=2x\,}$ 
• ${\displaystyle D(x^{3})=3x^{2}\,}$ 

Dimostrazione

• ${\displaystyle D(a)=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{a-a} \over {h}}=0}$ 
• ${\displaystyle D(x)=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)-x} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{h} \over {h}}=1}$ 
• ${\displaystyle D(x^{2})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)^{2}-x^{2}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x}$ 
• ${\displaystyle D(x^{3})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)^{3}-x^{3}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}} \over {h}}=\lim _{h\to 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}}$ 

Più in generale si ha:

• ${\displaystyle D(x^{n})=nx^{n-1}\,}$  con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 

Dimostrazione

${\displaystyle D(x^{n})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{(x+h)^{n}-x^{n}} \over {h}}}$ 

Applicando il teorema binomiale ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$  e le proprietà dei coefficienti binomiali si ottiene

${\displaystyle D(x^{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+nx^{n-1}h+{n \choose 2}x^{n-2}h^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}h^{3}+\ldots +{n \choose n-2}x^{2}h^{n-2}+nxh^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h}}=}$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {nx^{n-1}h+{n \choose 2}x^{n-2}h^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}h^{3}+\ldots +{n \choose n-2}x^{2}h^{n-2}+nxh^{n-1}+h^{n}}{h}}=}$ 

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left(nx^{n-1}+{n \choose 2}x^{n-2}h+{n \choose 3}x^{n-3}h^{2}+\ldots +{n \choose n-2}x^{2}h^{n-3}+nxh^{n-2}+h^{n-1}\right)=nx^{n-1}}$ 

Altre funzioni algebriche

• ${\displaystyle D(x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1}}$  con ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \,}$ 
  
• ${\displaystyle D({\sqrt[{2}]{x}})={\frac {1}{2{\sqrt[{2}]{x}}}}}$ 
  
• ${\displaystyle D({\sqrt[{n}]{x^{m}}})={{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}}\,{\mbox{se }}x>0\,}$ 
  
• ${\displaystyle D(|x|)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}x>0\\-1&{\mbox{se }}x<0\\{\mbox{non derivabile}}&{\mbox{se }}x=0\end{matrix}}\right.\,}$ 

Dimostrazione

• ${\displaystyle D(x^{\alpha })=}$  (applicando le proprietà dei logaritmi) ${\displaystyle =D\left(e^{\alpha \ln x}\right)=}$  (applicando la regola di derivazione di una funzione composta, anche chiamata regola della catena)
  
  

${\displaystyle =e^{\alpha \ln x}\cdot {\frac {\alpha }{x}}=x^{\alpha }\cdot {\frac {\alpha }{x}}=\alpha x^{\alpha -1}}$ 

• ${\displaystyle D({\sqrt[{n}]{x^{m}}})=D\left(x^{\frac {m}{n}}\right)}$ 
  
  

applicando la regola sopra dimostrata ${\displaystyle D(x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1}}$  si ottiene

${\displaystyle D({\sqrt[{n}]{x^{m}}})={\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}={\frac {m}{n}}x^{\frac {m-n}{n}}={\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{x^{m-n}}}}$ 

Funzioni logaritmiche ed esponenziali

• ${\displaystyle D(\log _{b}x)={\frac {\log _{b}e}{x}}={\frac {1}{x\ln b}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\ln x)={\frac {1}{x}}\,}$ 

Dimostrazione

• ${\displaystyle D(\log _{b}x)=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{{\log _{b}(x+h)-\log _{b}(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\cdot \log _{b}{\frac {x+h}{x}}}$ 

Applicando ancora le proprietà dei logaritmi si ottiene

${\displaystyle D(\log _{b}x)=\lim _{h\to 0}\log _{b}{\left({\frac {x+h}{x}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}\log _{b}{\left(1+{\frac {h}{x}}\right)}^{\frac {1}{h}}}$ 

Applicando il limite notevole ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\left(1+\theta z\right)}^{\frac {1}{z}}=e^{\theta }\!}$  dove ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{x}}}$  si ottiene

${\displaystyle D(\log _{b}x)=\log _{b}e^{\frac {1}{x}}={\frac {\log _{b}e}{x}}={\frac {1}{x\ln b}}}$ 

• ${\displaystyle D(\ln x)=}$  (dalla regola ${\displaystyle D(\log _{b}x)={\frac {\log _{b}e}{x}}}$  scaturisce)

${\displaystyle ={\frac {\log _{e}e}{x}}={\frac {1}{x}}}$ 

• ${\displaystyle D(e^{x})=e^{x}\,}$ 
• ${\displaystyle D(a^{x})=a^{x}\ln a\,}$ 
• ${\displaystyle D(x^{x})=x^{x}(1+\ln x)\,}$ 

Dimostrazione n. 1

• ${\displaystyle D(e^{x})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}(e^{h}-1)}{h}}=e^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}\,}$ 

dal limite notevole  ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {k^{z}-1}{z}}=\ln k\,}$ 

• ${\displaystyle D(a^{x})=\lim _{h\to 0}{{f(x+h)-f(x)} \over {h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=a^{x}\ln a\,}$ 

dal limite notevole  ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {k^{z}-1}{z}}=\ln k\,}$ 

Un altro sistema è questo:

${\displaystyle D(a^{x})=}$  (applicando le proprietà dei logaritmi) ${\displaystyle =D\left(e^{x\ln a}\right)=}$  (applicando la regola di derivazione di una funzione composta, anche chiamata regola della catena)

${\displaystyle =e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^{x}\ln a}$ 

• ${\displaystyle D(\ln(f(x)))={{f'(x)} \over {f(x)}}\Rightarrow f(x)D(\ln(f(x)))=f'(x)}$ 

e quindi ${\displaystyle D(x^{x})=x^{x}D(\ln(x^{x}))=x^{x}(\ln(x)+x({{1} \over {x}}))=x^{x}(1+\ln(x))}$ 

Dimostrazione n. 2

• Data la funzione ${\displaystyle y=a^{x}}$  applicando la regola di derivazione della funzione inversa, in questo caso ${\displaystyle x=\log _{a}y}$ , si ha

${\displaystyle D(a^{x})={\frac {1}{D(\log _{a}y)}}={\frac {1}{{\frac {1}{y}}\log _{a}e}}=y\ln a=a^{x}\ln a}$ 

• ${\displaystyle D(e^{x})=}$  (applicando la regola di derivazione ${\displaystyle D(a^{x})=a^{x}\ln a}$  scaturisce)

${\displaystyle =e^{x}\ln e=e^{x}}$ 

Funzioni trigonometriche

• ${\displaystyle D(\sin x)=\cos x\,}$ 

Dimostrazione

Per prima cosa scriviamo il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x_{0}+h)-\sin(x_{0})}{h}}}$ 
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione:
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x_{0}+h)-\sin(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x_{0})\cos(h)+\cos(x_{0})\sin(h)-\sin(x_{0})}{h}}=}$ 
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {-\sin(x_{0})\cdot \left(1-\cos(h)\right)+\cos(x_{0})\sin(h)}{h}}}$ 
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garantisce che
${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \ {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}}$ 
da quest'ultima espressione ricaviamo
${\displaystyle 1-\cos(x)=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}$ 
che sostituiamo nello sviluppo del limite:
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {-\sin(x_{0})\cdot \left(1-\cos(h)\right)+\cos(x_{0})\sin(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-\sin(x_{0})\cdot \left(2\sin ^{2}\left({\frac {h}{2}}\right)\right)}{h}}+\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x_{0})\sin(h)}{h}}=}$ 
${\displaystyle -\sin(x_{0})\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\sin ^{2}({\frac {h}{2}})}{\frac {h}{2}}}+\cos(x_{0})\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=}$  ${\displaystyle -\sin(x_{0})\cdot \lim _{h\to 0}{\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}\cdot {\frac {\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}{\frac {h}{2}}}+\cos(x_{0})\cdot 1=}$ 

${\displaystyle -\sin(x_{0})\cdot 0\cdot 1+\cos(x_{0})=\cos(x_{0})}$ 

• ${\displaystyle D(\cos x)=-\sin x\,}$ 

Dimostrazione

Per prima cosa scriviamo il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0})}{h}}}$ 
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione:
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x_{0}+h)-\cos(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x_{0})\cos(h)-\sin(x_{0})\sin(h)-\cos(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-\cos(x_{0})\cdot \left(1-\cos(h)\right)-\sin(x_{0})\sin(h)}{h}}}$ 
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garatisce che:
${\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}}$ 
da quest'ultima espressione ricaviamo
${\displaystyle 1-\cos(x)=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}$ 
che sostituiamo nello sviluppo del limite:
${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {-\cos(x_{0})\cdot \left(1-\cos(h)\right)-\sin(x_{0})\sin(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-\cos(x_{0})\cdot \left(2\sin ^{2}({\frac {h}{2}})\right)}{h}}-\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x_{0})\sin(h)}{h}}=}$ 
${\displaystyle -\cos(x_{0})\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\sin ^{2}\left({\frac {h}{2}}\right)}{\frac {h}{2}}}-\sin(x_{0})\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=}$  ${\displaystyle -\cos(x_{0})\cdot \lim _{h\to 0}{\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}\cdot {\frac {\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}{\frac {h}{2}}}-\sin(x_{0})\cdot 1=}$ 

${\displaystyle -\cos(x_{0})\cdot 0\cdot 1-\sin(x_{0})=-\sin(x_{0})}$ 

• ${\displaystyle D(\tan x)=1+\tan ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,}$ 

Dimostrazione

Per prima cosa scriviamo la funzione tangente come rapporto tra il seno ed il coseno: ${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$ . Per cui ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni:
${\displaystyle D\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)={\frac {\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos(x)^{2}}}={\frac {\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}}$ 
A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi:
${\displaystyle {\frac {\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}={\frac {1}{\cos(x)^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}={\frac {\cos(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}+{\frac {\sin(x)^{2}}{\cos(x)^{2}}}=1+\tan(x)^{2}}$ 

• ${\displaystyle D(\cot x)=-(1+\cot ^{2}x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\sec x)=\tan x\sec x\,}$ 
• ${\displaystyle D(\csc x)=-\cot x\csc x\,}$ 
• ${\displaystyle D(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\arccos x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\operatorname {arccot} x)={-1 \over 1+x^{2}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\operatorname {arcsec} x)={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\operatorname {arccsc} x)={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$ 

Funzioni iperboliche

• ${\displaystyle D(\sinh x)=\cosh x\,}$ 
• ${\displaystyle D(\cosh x)=\sinh x\,}$ 
• ${\displaystyle D(\tanh x)={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{coth}}x)=-{\mbox{csch}}^{2}x\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{sech}}x)=-\tanh x{\mbox{sech}}x\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{csch}}x)=-{\mbox{coth}}x{\mbox{csch}}x\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{arcsinh}}x)={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{arccosh}}x)={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{arctanh}}x)={1 \over 1+x^{2}}\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{arccoth}}x)={1 \over 1-x^{2}}\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{arcsech}}x)={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D({\mbox{arccsch}}x)={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}\,}$ 

Derivate di funzioni composte

• ${\displaystyle D([f(x)]^{n})=nf(x)^{n-1}f'(x)\,}$ 
• ${\displaystyle D({\sqrt[{n}]{f(x)}})={f'(x) \over n{\sqrt[{n}]{f(x)^{n-1}}}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(\ln f(x))={f'(x) \over f(x)}\,}$ 
• ${\displaystyle D(e^{f(x)})=e^{f(x)}f'(x)\,}$ 
• ${\displaystyle D(\sin f(x))=f'(x)\cos f(x)\,}$ 
• ${\displaystyle D(\cos f(x))=-f'(x)\sin f(x)\,}$ 
• ${\displaystyle D(\arctan f(x))={f'(x) \over 1+[f(x)]^{2}}\,}$ 
• ${\displaystyle D(f(x)^{g(x)})=f(x)^{g(x)}\left\{g'(x)\ln f(x)+g(x){f'(x) \over f(x)}\right\}\,}$ 

Dimostrazione

${\displaystyle {f(x)^{g(x)}}={e^{{\ln }{f(x)^{g(x)}}}}={e^{g(x){{\ln }f(x)}}}}$  e dunque si deriva seguendo la regola di ${\displaystyle D({e^{f(x)}})}$  e del prodotto

Voci correlate

• Metodi di integrazione

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