Discussione:Teoremi di incompletezza di Gödel
completezza della geometria euclidea
La geometria euclidea è veramente completa? Per quel che ricordo il 5° postulato ("per un punto dato passa una ed una sola retta parallela ad un altra") è arbitrario, e supponendolo differente esso da origine a sistemi geometrici altrettanto validi. Quindi risulta che la geometria euclidea senza il 5° postulato non è abbastanza potente da descrivere tutto, ma nemmeno con il 5° postulato, in quanto omette le geometri riemaniane etc.. Qualcuno potrebbe chiarire?
- Non ne so molto ma se elimini o modifichi il 5° postulato ottieni una geometria che non è più euclidea, quindi se vuoi la geom euclidea devi tenere il 5° postulato e quindi il problema non si pone. Hellis 23:47, Lug 1, 2005 (CEST)
- Ma il punto è che la geometria non euclidea è altrettanto valida. Ad esempio, poenendo il 5° postulato se definito come "per un punto non passa nessuna retta parallela ad una data" definisce una geometria che è altrettanto esatta di quella euclidea, semplicemente, cambiano i concetti di Piano e Punto, che diventando, grossolanamente, corrispondenti ad una sfera ed ad una corda. La geometria euclidea non gestisce questa visione, il che la rende un sistema incompleto (che non significa che sia inutile, semplicemente che non è in grado di abbracciare tutto ciò che è corretto), ma per far si che il sistema sia completo essa deve definire contemporaneamente differenti 5° postulati, diventando incoerente, quindi il teorema di godel rimane valido in entrambi i casi. C'è una bella trattazione dell'argomento in "Godel, Escher, Bach, un eterna ghirlanda brillante" di Douglas Hofstadter
Magari mi sbaglio (sono un fisico e non un matematico) ma direi che dobbiamo specificare cosa si intende per "completezza di un sistema". Nessun insieme di postulati può abbracciare tutto ciò che è corretto, il massimo che può fare è essere non incoerente (e magari anche essere utile). La geometria euclidea credo sia un sistema coerente e credo lo siano anche la geometria riemanniana e quella iperbolica. Eliminando il quinto postulato invece non si ottiene nessuna delle tre e abbiamo a che fare con un sistema che ammette proposizioni indecidibili.--J B 16:50, Ago 31, 2005 (CEST)
Vedi sotto. Dato che posso rappresentare l'aritmetica tramite segmenti, se la geometria fosse completa, lo sarebbe pure l'aritmetica. --BW Insultami 07:25, Set 1, 2005 (CEST)
Tolta una parte
Ho commentato quanto segue:
- Il teorema non implica che ogni sistema di assiomi abbastanza interessante sia incompleto. Ad esempio la geometria euclidea può essere assiomatizzata in modo da essere un sistema completo. (Di fatti, gli assiomi originali di Euclide si avvicinano molto all'essere una assiomatizzazione completa. Gli assiomi mancanti esprimono proprietà talmente ovvie che se ne è notata la mancanza solamente nel momento in cui è sorta l'esigenza di scrivere dimostrazioni formali.)
In realtà, l'assiomatizzazione della geometria sposta il problema della completezza dalla geometria all'aritmetica: infatti è possibile rappresentare l'aritmetica nella geometria: se questa fosse completa, lo sarebbe anche l'aritmetica, in contraddizione con il primo teorema. Un po' come la rappresentazione delle geometrie non euclidee con cerchi e linee sposta la correttezza di queste a quella della geometria euclidea. --BW Insultami 07:24, Set 1, 2005 (CEST)
Cronologia di Primo teorema di incompletezza di Gödel
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