Operatore (matematica)

Per altri significati della parola si veda Operatore (disambigua)

In matematica il termine operatore viene usato in vari contesti con significati che presentano alcune diversità, ma che in ogni caso si collegano alla nozione di funzione.

In algebra operatore viene usato come sinonimo di operazione, ovvero di legge di composizione interna. Più esplicitamente si dice operatore sull'insieme A di arietà n, con n intero naturale una funzione della forma

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {A\times A\times ...\times A} \\n\end{matrix}}~\mapsto ~A}$

Se n=1 si parla di operatore unario, se n=2 di operatore binario e così via. Può essere utile anche considerare il caso n=0 e chiamare operatore nullario un elemento specifico dell'insieme A.

In algebra lineare il termine operatore viene usato spesso con il significato particolare di operatore unario agente su uno spazio vettoriale che rispetta la combinazione lineare dei vettori, ovvero come endomorfismo di spazio vettoriale. In tale contesto si può considerare abbreviazione di operatore lineare. Il termine però viene usato anche per denotare una trasformazione lineare tra due spazi vettoriali diversi, cioè come omomorfismo tra spazi vettoriali.

Il termine inoltre viene ampiamente usato con significati che si collegano al precedente nell'analisi funzionale e in vari campi dell'area dell'analisi matematica, ovvero dello studio delle funzioni e in particolare delle funzioni olomorfe e delle funzioni speciali. Operatore e parole derivate quindi compaiono

• nell'intero settore chiamato teoria degli operatori (v.a. 47-XX);
• negli operatori differenziali, a partire dalla derivazione di una variabile reale (si può dire, ad esempio, che la derivazione è un operatore che manda la funzione seno nella funzione coseno), l'operatore nabla, l'operatore di Laplace e tanti altri;
• negli operatori integrali studiati dal punto di vista delle trasformate integrali, del cosiddetto calcolo operazionale (v.a. 44-XX) e dell'analisi di Fourier (v.a. 42-XX).

Si ritiene opportuno usare il termine operatore anche in capitoli della combinatorica, come negli studi sulle serie formali di potenze e delle sequenze polinomiali, e della geometria, come negli studi sulle trasformazioni geometriche (ad esempio si dice che l'operatore traslazione manda la fuzione sen(x) in sen(x+a)).

Il termine operatore con significati strettamente collegati ad alcuni della matematica viene ampiamente utilizzato nella meccanica quantistica (si veda in particolare Postulati della meccanica quantistica) e della programmazione.

Operatori negli spazi di Hilbert

Endomorfismo

Gli endomorfismi sono applicazioni lineari (omomorfismo) di uno spazio V in se stesso. Di particolare interesse sono gli endomorfismi continui detti anche operatori lineari. Lo spazio vettoriale degli endomorfismi è anche un'algebra associativa con unità con le operazioni di:

prodotto di operatori:${\displaystyle (AB)\left|v\right\rangle =A(B\left|v\right\rangle )}$ 

operatore identità: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle I \left | v \right \rangle = \left | v \right \rangle }

e in generale non vale la proprietà commutativa:

${\displaystyle AB\neq BA}$ .

Automorfismo

Un automorfismo è un endomorfismo biiettivo cioè: ${\displaystyle A\in Aut(V)}$  se:

${\displaystyle \exists A^{-1}\ taleche\ A^{-1}A=AA^{-1}=I}$ 

e formano un gruppo lineare di V chiamato: GL(V), infatti:

1. ${\displaystyle A,B\in Aut(V)\Rightarrow AB\in Aut(V)}$  ed anche Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle (AB)^{-1}= B^{-1}A^{-1}}
2. il prodotto è associativo
3. Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle I \in Aut(V)}
4. ${\displaystyle A^{-1}\in Aut(V)}$ 

Operatori lineari

Un operatore è lineare se gode delle seguenti proprietà:

1. Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle A [f+g] = Af + Ag}
2. Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle A [c f] = c [Af]}

Operatori lineari in infinite dimensioni

l'operatore lineare in infinite dimensioni ha bisogno invece dell'analisi matematica.

Operatori lineari continui

L'operatore lineare si dice continuo se ogni successione \{x_n\} è convergente ad un limite x e valgono:

${\displaystyle Ax=\lim _{n\to \infty }Ax_{n}}$ 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }Ax_{n}=A\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ .

Ovviamente negli spazi infinito dimensionale gli operatori lineari sono continui.

Voci correlate

• Operatore lineare
• Operatore di proiezione
• Operatore differenziale lineare
• Operatore hermitiano
• Spazio di Hilbert
• Funzionale lineare