Polinomio di Bernstein

Template:Da fare/avviso

I polinomi di Bernstein o polinomi nella base di Bernstein sono una particolare classe di polinomi (sul campo reale) utilizzati nell'ambito dell'analisi numerica. Il nome si riferisce al matematico Sergei Natanovic Bernstein.

Un polinomio di Bernstein ${\displaystyle P(x)}$ di grado n è dato dalla formula:

${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n}{c_{k}B_{k}^{n}(x)}}$

dove gli ${\displaystyle B_{k}^{n}(\cdot )}$ sono elementi della base dei polinomi di Bernestein, definiti da:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}\quad {\textrm {se}}\quad x\in [0,1];}$

o, più in generale:

${\displaystyle B_{i}^{n}(x)={n \choose i}{(b-x)^{n-i}(x-a)^{i} \over (b-a)^{n}}\quad {\textrm {se}}\quad x\in [a,b];}$

(qui ${\displaystyle {n \choose i}}$ è il coefficiente binomiale).

Esempio

 

Rappresentazione della base di Bernstein per polinomi di grado 2.

Nel caso di un polinomio di grado 2 la base in [0,1] sarebbe composta da:

• ${\displaystyle B_{0}^{2}(x)={2 \choose 0}x^{0}(1-x)^{2-0}=(1-x)^{2}}$ 
• ${\displaystyle B_{1}^{2}(x)={2 \choose 1}x^{1}(1-x)^{2-1}=2x(1-x)}$ 
• ${\displaystyle B_{2}^{2}(x)={2 \choose 2}x^{2}(1-x)^{2-2}=x^{2}}$ 

Un polinomio espresso in questa base avrebbe quindi la forma:

${\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{2}(x)+c_{1}B_{1}^{2}(x)+c_{2}B_{2}^{2}(x)}$ 

Voci correlate

• Algoritmo di de Casteljau
• Curva di Beziér