Base (algebra lineare)

Template:Avvisounicode Template:Voce complessa In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è una base se questi vettori sono indipendenti e generano lo spazio vettoriale.

La base è un concetto chiave dell'algebra lineare, simile a quello di sistema di riferimento usato in fisica, che permette di definire la dimensione di uno spazio vettoriale.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un insieme ordinato (sequenza) di vettori (v₁, ..., v_n) è una base per V se valgono entrambe queste proprietà:

1. I vettori v₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti;
2. I vettori v₁, ..., v_n generano V, cioè V = Span(v₁, ..., v_n).

Proprietà

Dimensione

Uno spazio vettoriale generalmente non ha una sola base, anzi solitamente ha una infinità di basi molto diverse fra loro; però grazie al teorema della dimensione per spazi vettoriali queste basi hanno tutte la stessa cardinalità, sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori.

Questo numero, che dipende quindi solo da V, è la dimensione di V e permette di definire spazi di dimensione arbitrariamente alta, superando i limiti dell'umana intuizione tridimensionale.

La dimensione di V è inoltre pari al massimo numero di vettori indipendenti in V, e al minimo numero di vettori necessari per generare V.

Combinazione lineare

Un insieme B = (v₁, ..., v_n) di vettori è una base per V se e solo se ogni elemento v di V si può scrivere in un modo solo come combinazione lineare dei vettori v₁, ..., v_n. Tale combinazione lineare identifica le coordinate di v rispetto a B.

Condizioni sufficienti

Le due proprietà seguenti mostrano che, conoscendo già la dimensione dello spazio, per verificare che un insieme del numero giusto di elementi sia una base è sufficiente provare una sola delle due proprietà necessarie:

• Un insieme B di n vettori in uno spazio V di dimensione n è una base se e solo se sono indipendenti.
• Un insieme B di n vettori in uno spazio V di dimensione n è una base se e solo se generano V.

Esistenza

Qualsiasi sia lo spazio vettoriale V, possiamo sempre trovare una base. Vediamo il perché (la cosa non è banale, e richiede l'uso del lemma di Zorn nel caso generale). Consideriamo la collezione I(V) dei sottoinsiemi di V linearmente indipendenti. È immediato che l'inclusione ⊂ sia un ordine parziale su I(V), e che per ogni catena {B_i} l'insieme ∪ B_i sia un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il lemma di Zorn sappiamo che esiste un insieme massimale linearmente indipendente B in I(V). Adesso è facile concludere che B è una base, infatti se v ∈ V e v ∉ B, allora per la massimalità di B l'insieme B ∪ {v} deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari a, a₁, ..., a_n non tutti nulli tali che

a v + a₁ b₁ + ... + a_n b_n = 0,      b₁, ..., b_n ∈ B

notiamo che a ≠ 0 (se fosse nulla allora anche gli altri a_i dovrebbero esserlo essendo gli elementi di B linearmente indipendenti), ne deriviamo che v può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di B, che quindi, oltre a essere linearmente indipendente, genera V, ovvero è una base.

Esempi

• I vettori (1,0) e (0,1) sono una base di R², perché sono indipendenti e generano R² (infatti ogni altro (a, b) si scrive come (a, b) = a(1,0) + b(0,1)).
• In dimensione arbitraria, una base dello spazio vettoriale Rⁿ è data dai vettori

  e₁ = (1, 0, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, 0, ...,0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1).

  Questa base si chiama base canonica di Rⁿ.
• La base canonica di Cⁿ, cioè lo spazio vettoriale delle n-uple di numeri complessi, è sempre

  e₁ = (1, 0, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, 0, ...,0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1).

  È facile infatti scrivere un qualsiasi vettore di Cⁿ come combinazione di questi. Ad esempio il vettore (i, 0, 0) si scrive come

  i * (1 , 0 , 0) = (i , 0 , 0)

• I vettori (2,1) e (-1,2) formano una base di R², diversa da quella canonica: visto che sono 2 vettori in uno spazio che sappiamo già avere dimensione 2, grazie alla proprietà descritta sopra per dimostrare questo fatto ci basta notare che sono indipendenti.

Generalizzazioni in dimensione infinita

Il concetto di base in spazi di dimensione infinita (in cui cioè esista un insieme infinito di vettori linearmente indipendenti) è più problematico. Per tali spazi esistono due nozioni differenti di base: la prima, detta base di Hamel, è definita algebricamente, mentre la seconda, detta base di Schauder, necessita della presenza di una topologia.

Base di Hamel

Una base di Hamel per uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$  è un insieme ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$  di vettori linearmente indipendenti^[1], parametrizzato da un insieme ordinato ${\displaystyle I}$  di indici, tale che ogni vettore ${\displaystyle v}$  di ${\displaystyle V}$  è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

Nel caso in cui ${\displaystyle I}$  è un insieme finito, la definizione coincide con quella data precedentemente.

Ad esempio, una base di Hamel per lo spazio vettoriale ${\displaystyle V=K[x]}$  formato da tutti i polinomi a coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$  è data dall'insieme di tutti i monomi

${\displaystyle \{x^{i}\}_{i\in \mathbb {N} }=\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}.}$ 

Infatti ogni polinomio ${\displaystyle a_{n}x^{n}+\ldots a_{1}x+a_{0}}$  è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

Ogni spazio vettoriale ha una base di Hamel, grazie al lemma di Zorn (vedi la proprietà di esistenza). Inoltre due basi di Hamel qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, che può dunque essere presa come dimensione (di Hamel) dello spazio vettoriale. Infine, continua ad rimanere vero il fatto che ogni vettore dello spazio ${\displaystyle V}$  si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di una base di Hamel.

Base di Schauder o topologica

Se lo spazio è dotato di una topologia, è possibile estendere la definizione di base in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di limite di una successione e di serie.

Se ${\displaystyle V}$  è uno spazio vettoriale topologico, ad esempio uno spazio di Hilbert o di Banach, un insieme ordinato ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$  di vettori linearmente indipendenti è una base di Schauder (o topologica) se lo spazio da essi generato è denso in ${\displaystyle V}$ . In altre parole, se ogni vettore ${\displaystyle v}$  di ${\displaystyle V}$  può essere approssimato da somme (finite) di vettori in ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in I}}$ , e quindi come limite di una somma infinita di questi:

${\displaystyle v=\sum _{i\in I'}(a_{i}-v_{i}),}$ 

dove ${\displaystyle I'\subset I}$  è un sottoinsieme numerabile.

In uno spazio di Hilbert, è di particolare importanza la nozione di base ortonormale.

L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata. Vedi ^{[senza fonte]}.

L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi ^{[senza fonte]}. .

Cardinalità

Le due nozioni di basi sono generalmente molto differenti, e anche le loro cardinalità possono differire, portando a due concetti diversi di dimensione, chiamati rispettivamente dimensione di Hamel e dimensione di Schauder. La dimensione di Hamel può avere cardinalità superiore a quella di Schauder (pur essendo entrambe infinite).

Ad esempio, sia ${\displaystyle V}$  lo spazio delle funzioni continue reali definite sull'intervallo ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ . Questo è uno spazio di Banach con la norma

${\displaystyle \|f\|=\max _{x\in [0,\pi ]}|f(x)|.}$ 

Come conseguenza della teoria delle serie di Fourier, una base di Schauder per ${\displaystyle V}$  è costruita a partire dalle funzioni trigonometriche

${\displaystyle \{1\}\cup \{\sin(nx),\cos(nx)|n=1,2,3,\ldots \},}$ 

ed ha cardinalità numerabile. Una base di Hamel ha invece cardinalità non numerabile, ed è molto più difficile da costruire (e scarsamente utilizzata).

Note

1. ^ Per definizione, ${\displaystyle \{v_{i}\}}$  è un insieme di vettori indipendenti se ogni sottoinsieme finito di questi è formato da vettori indipendenti.

Voci correlate

• Base ortonormale
• Completamento a base
• Estrazione di una base
• Formula di Grassmann
• Matrice di cambiamento di base
• Span lineare
• Sottospazio vettoriale

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