Formule di Borda

Le Formule o Relazioni di Borda permettono di risolvere il triangolo di posizione nelle applicazioni di astronomia nautica (navigazione astronomica).

Formule per calcolare l'angolo al polo P:

${\displaystyle \sin {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos \phi \sin p}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\cos(S-p)}{\cos \phi \sin p}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos(S-p)\sin(S-\phi )}}}}$

dove

${\displaystyle S={\frac {\phi +p+h}{2}}}$

Formule per calcolare l'angolo azimutale Z:

${\displaystyle \sin {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos \phi \cos h}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\cos(S-p)}{\cos \phi \cos h}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos S\cos(S-p)}}}}$

dove

${\displaystyle S={\frac {\phi +p+h}{2}}}$

Le formule per calcolare l'angolo parallattico A non sono date perché il calcolo non ha interesse pratico.

Note

Le formule sono tutte riportate in forma logaritmica, forma in cui le funzioni trigonometriche compaiono sempre e solo moltiplicate fra loro; ciò semplifica i calcoli perché permette di passare ai logaritmi di tali funzioni e sommare i risultati ottenuti (ricordando infatti che a*b = log(a)+log(b) ).

Questo modo è il più semplice quando si devono eseguire tutti i calcoli a mano, utilizzando soltanto le tavole dei logaritmi e le tavole delle funzioni trigonometriche.