Formule di Borda

Le Formule o Relazioni di Borda permettono di risolvere il triangolo di posizione nelle applicazioni di astronomia nautica (navigazione astronomica).

Facendo riferimento al cerchio d'altezza, sono date le formule per ricavare l'angolo al polo P e l'angolo zenitale Z.

Formule per calcolare l'angolo al polo P:

${\displaystyle \sin {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos \phi \sin p}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\cos(S-p)}{\cos \phi \sin p}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {P}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\sin(S-h)}{\cos(S-p)\sin(S-\phi )}}}}$

dove

${\displaystyle S={\frac {\phi +p+h}{2}}}$

Formule per calcolare l'angolo azimutale Z:

${\displaystyle \sin {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos \phi \cos h}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\cos S\cos(S-p)}{\cos \phi \cos h}}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {Z}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(S-\phi )\sin(S-h)}{\cos S\cos(S-p)}}}}$

dove

${\displaystyle S={\frac {\phi +p+h}{2}}}$

Le formule per calcolare l'angolo parallattico A non sono date perché il calcolo non ha interesse pratico.

Note

Le formule sono tutte riportate in forma logaritmica, forma in cui le funzioni trigonometriche compaiono sempre e solo moltiplicate fra loro; ciò semplifica i calcoli perché permette di passare ai logaritmi di tali funzioni e sommare i risultati ottenuti (ricordando infatti che a*b = log(a)+log(b)).

Questo modo è il più semplice quando si devono eseguire tutti i calcoli a mano, utilizzando soltanto le tavole dei logaritmi e le tavole delle funzioni trigonometriche.