Funzione lineare

Quando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale x a valori reali della forma

Esempio di funzioni lineari

${\displaystyle f(x)=mx+c\;}$

con n e c costanti reali.

Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione

${\displaystyle y=mx+c\;}$

la costante m viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, mentre c è chiamata intercetta con l'asse delle y. In effetti la retta interseca l'asse Oy nel punto (0,c); la retta inoltre interseca l'asse Ox nel punto (-c / m,0), come si ricava imponendo y = 0 e risolvendo la equazione 0 = m x + c; quando però m = 0 la retta è orizzontale e si può dire che incontra l'asse Ox solo all'infinito.

Esempi:

• f(x)= 2x + 1   (m=2, c=1)
• f(x) = x   (m=1, c=0)
• f(x)= 9
• f(x)= -72 x + 4

Si osserva che facendo crescere m da 0 in su la retta da orizzontale si fa crescente con pendenza sempre più accentuata, mentre facendo assumere ad m valori sempre più negativi la retta diventa sempre marcatamente in discesa. Facendo variare la c la retta viene traslata verso l'alto o verso il basso.

Generalizazioni

La definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali x e y a valori reali si intende una funzione della forma

f(x,y) = m x + n y + c ;

essa nello spazio tridimensionale riferito ad una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale Oz nel punto (0, 0, c), l'asse Ox in (-c/m, 0, 0), o all'infinito se m = 0, e l'asse Oy in (0, -c/n, 0), o all'infinito se n = 0.

Relazione con la definizione di applicazione lineare

Dato che in considerazioni generali il termine funzione viene considerato sinonimo di applicazione e di trasformazione, le precedenti definizioni sono in disaccordo con la definizione di trasformazione lineare, ovvero di applicazione lineare, che viene data in generale e in particolare in algebra. In generale per applicazione lineare si intende una funzione che soddisfa le seguenti 2 proprietà:

• Additività: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Omogeneità: f(αx) = αf(x) per ogni α.

Equivalentemente si può chiedere che sia

${\displaystyle f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})\,=\,a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})}$  .

In questa definizione x, y, x₁ e x₂ sono elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo K o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo R, mentre a, a₁ e a₂ sono elementi arbitrari di K ovvero di R; la funzione f a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}}$ .

Ora per la funzione considerata inizialmente ${\displaystyle f(x)\,=\,mx+c}$  i due membri dell'uguaglianza sono

${\displaystyle m(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})+c~~~{\mbox{e}}~~~a_{1}(mx_{1}+c)+a_{2}(mx_{2}+c)}$  ,

e questi sono uguali solo se dodo puzza = 0.

Dunque il termine funzione lineare viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.

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