Numero primo di Mersenne

Un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come:

${\displaystyle M_{n}\,=\,2^{n}-1}$

con n intero positivo primo.

I numeri primi di Mersenne prendono il nome dal matematico francese Marin Mersenne (1588-1648). Mersenne compilò una lista di numeri primi di Mersenne considerando tutti i valori di n fino a n=257. Tale lista conteneva però alcuni errori: includeva ${\displaystyle M_{67}}$ e ${\displaystyle M_{257}}$ (che non sono primi), mentre non comparivano ${\displaystyle M_{61}}$, ${\displaystyle M_{89}}$ e ${\displaystyle M_{107}}$ (che sono primi).

I primi numeri primi di Mersenne sono:

${\displaystyle M_{2}=2^{2}-1=3}$

${\displaystyle M_{3}=2^{3}-1=7}$

${\displaystyle M_{5}=2^{5}-1=31}$

${\displaystyle M_{7}=2^{7}-1=127}$

${\displaystyle M_{13}=2^{13}-1=8191}$

${\displaystyle M_{17}=131071}$

${\displaystyle M_{19}=524287}$

${\displaystyle M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{61}=2305843009213693951}$

${\displaystyle M_{89}=618970019642690137449562111}$

${\displaystyle M_{107}=162259276829213363391578010288127}$

${\displaystyle M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

Se ${\displaystyle M_{n}}$ è primo, allora anche ${\displaystyle n}$ è primo. Invece ${\displaystyle n}$ primo non garantisce che ${\displaystyle M_{n}}$ sia primo.

Se ${\displaystyle M_{n}}$ non è un numero primo, viene detto semplicemente numero di Mersenne. In questo caso ogni suo fattore primo è del tipo 2*a*n+1 (dove a è intero).

I numeri primi di Mersenne sono collegati con i numeri perfetti. Nel IV secolo a.C. Euclide dimostrò che se ${\displaystyle M_{n}}$ è un numero primo, allora ${\displaystyle {M_{n}\cdot (M_{n}+1) \over 2}=2_{\quad }^{n-1}(2^{n}-1)}$ è un numero perfetto. Nel XVIII secolo Eulero provò che tutti i numeri perfetti pari hanno questa forma. Nessun numero perfetto dispari è conosciuto e si congettura che non ne esistano.

I calcolatori hanno accelerato la scoperta dei primi di Mersenne. I primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo. Alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 47 e i dodici più recenti sono stati scoperti nell'ambito della GIMPS, la Great Internet Mersenne Prime Search, iniziativa che sfrutta le risorse disponibili di migliaia di computer in rete per cercare i primi di Mersenne. Il più grande numero primo conosciuto (a settembre 2008) è proprio un numero di Mersenne trovato nell'ambito della GIMPS; scritto in base dieci è un numero di 12.978.189 cifre, precisamente:

${\displaystyle M_{43112609}\,=\,2^{43112609}-1}$

Il test di primalità usato dal GIMPS è il test di Lucas - Lehmer. In un sistema numerico binario, tutti i primi di Mersenne sono primi repunit, primi palindromi e primi permutabili.

Lista numeri primi di Mersenne

#	n	Mn	Cifre in Mn	Data scoperta	Scopritore
1	2	3	1	Antichità	Ignoto
2	3	7	1	Antichità	Ignoto
3	5	31	2	Antichità	Ignoto
4	7	127	3	Antichità	Ignoto
5	13	8191	4	1456	Ignoto
6	17	131071	6	1588	Cataldi
7	19	524287	6	1588	Cataldi
8	31	2147483647	10	1772	Eulero
9	61	2305843009213693951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449562111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30 gennaio 1952	Robinson
14	607	531137992…031728127	183	30 gennaio 1952	Robinson
15	1 279	104079321…168729087	386	25 giugno 1952	Robinson
16	2 203	147597991…697771007	664	7 ottobre 1952	Robinson
17	2 281	446087557…132836351	687	9 ottobre 1952	Robinson
18	3 217	259117086…909315071	969	8 settembre 1957	Riesel
19	4 253	190797007…350484991	1 281	3 novembre 1961	Hurwitz
20	4 423	285542542…608580607	1 332	3 novembre 1961	Hurwitz
21	9 689	478220278…225754111	2 917	11 maggio 1963	Gillies
22	9 941	346088282…789463551	2 993	16 maggio 1963	Gillies
23	11 213	281411201…696392191	3 376	2 giugno 1963	Gillies
24	19 937	431542479…968041471	6 002	4 marzo 1971	Tuckerman
25	21 701	448679166…511882751	6 533	30 ottobre 1978	Noll e Nickel
26	23 209	402874115…779264511	6 987	9 febbraio 1979	Noll
27	44 497	854509824…011228671	13 395	8 aprile 1979	Nelson e Slowinski
28	86 243	536927995…433438207	25 962	25 settembre 1982	Slowinski
29	110 503	521928313…465515007	33 265	28 gennaio 1988	Colquitt e Welsh
30	132 049	512740276…730061311	39 751	20 settembre 1983	Slowinski
31	216 091	746093103…815528447	65 050	6 settembre 1985	Slowinski
32	756 839	174135906…544677887	227 832	19 febbraio 1992	Slowinski e Gage in Harwell Lab Cray-2
33	859 433	129498125…500142591	258 716	10 gennaio 1994	Slowinski e Gage
34	1 257 787	412245773…089366527	378 632	3 settembre 1996	Slowinski e Gage
35	1 398 269	814717564…451315711	420 921	13 novembre 1996	GIMPS / Joel Armengaud (PC Pentium 90)
36	2 976 221	623340076…729201151	895 932	24 agosto 1997	GIMPS / Gordon Spence (PC Pentium 100)
37	3 021 377	127411683…024694271	909 526	27 gennaio 1998	GIMPS / Roland Clarkson (Pentium 200)
38	6 972 593	437075744…924193791	2 098 960	1 giugno 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala (Pentium II 350)
39	13 466 917	924947738…256259071	4 053 946	14 novembre 2001	GIMPS / Michael Cameron (800 MHz AMD T-Bird PC)
40	20 996 011	125976895…855682047	6 320 430	17 novembre 2003	GIMPS / Michael Shafer (2 GHz Pentium 4 Dell Dimension PC)
41	24 036 583	299410429…733969407	7 235 733	15 maggio 2004	GIMPS / Josh Findley (2.4 GHz Pentium 4 Windows XP PC)
42	25 964 951	122164630…577077247	7 816 230	18 febbraio 2005	GIMPS / Martin Nowak (2.4 GHz Pentium 4 Windows XP PC)
43	30 402 457	315416475…652943871	9 152 052	15 dicembre 2005	GIMPS / Curtis Cooper e Steven Boone
44	32 582 657	124575026…053967871	9 808 358	4 settembre 2006	GIMPS / Curtis Cooper e Steven Boone
45	37 156 667	202254406…308220927	11 185 272	6 settembre 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich, George Woltman, Scott Kurowski et al
46	42 643 801	169873516…562314751	12 837 064	12 aprile 2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47	43 112 609	316470269…697152511	12 978 189	23 agosto 2008	GIMPS / Edson Smith, George Woltman, Scott Kurowski et al

Voci correlate

• Numero perfetto
• Numero primo
• Numero primo di Fermat
• Nuova congettura di Mersenne
• Potenza di due

Altri progetti

•   Wikinotizie contiene l'articolo Scoperti i due nuovi numeri primi più grandi a distanza di pochi giorni, 18 settembre 2008

Collegamenti esterni

• (EN) The Great Internet Mersenne Prime Search
• (EN) Storia su The Prime Pages

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica