Punto (geometria)
In geometria il punto è un concetto primitivo. Intuitivamente equivale ad un'entità adimensionale spaziale, per cui può essere considerato semplicemente come una posizione, come una coordinata. Ma alcuni lo considerano che possa rappresentare una figura geometrica; perché come è noto , una figura è un insieme di punti.
In topologia ed analisi matematica, viene spesso chiamato punto un elemento qualunque di uno spazio topologico e, in particolare, di uno spazio funzionale.
Definizio geometrica corretta di punto
Negli Elementi di Euclide, al punto è riservata la prima delle definizioni del I libro, dove si indica che punto è ciò che non ha parti. Quindi il punto il primo ente fondamentale della geometria ed è privo di una qualsiasi dimensione.
Con l'assiomatizzazione rigorosa della geometria effettuata da Hilbert nei Grundlagen der Geometrie il punto, assieme alla retta ed al piano (geometria), diventa uno dei concetti fondamentali della geometria al quale non si dà alcuna definizione.
Punti in geometria euclidea
Un punto nella geometria euclidea non ha grandezze di alcun tipo (volume, area, lunghezza), e nessuna caratteristica in generale tranne la sua posizione. I postulati di Euclide asseriscono in alcuni casi l'esistenza di punti; un esempio: se due linee in un piano non sono parallele, c'è esattamente un punto che appartiene ad entrambe.
Tre o più punti nello spazio si dicono allineati se sono contenuti in una retta. Quattro o più punti nello spazio si dicono complanari se sono contenuti in un piano.
Proprietà
Nella geometria euclidea il punto è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali la retta e il piano. Ad esempio:
- Per ogni punto nel piano passano infinite rette.
- Per due punti passa una e una sola retta.
- Per tre punti non allineati passa un solo piano.
- Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.
- Una linea o una retta sono una successione infinita di punti.
Punti in geometria cartesiana
Nella geometria cartesiana del piano e dello spazio euclideo un punto è un insieme ordinato di coordinate. Quindi un punto nello spazio tridimensionale è una terna di numeri, ad esempio:
- P = (2, 6, 9).
In generale, un punto in uno spazio euclideo di dimensione n è una successione di n numeri. In questo contesto i punti coincidono con i vettori (centrati nell'origine).
Le proprietà elencate sopra possono essere estese ad uno spazio euclideo di dimensione arbitraria nel modo seguente:
- Per n punti non contenuti in un piano di dimensione n-2 passa un solo piano di dimensione n-1.
Oppure possono essere estese a oggetti curvi, quali curve e superfici, ad esempio nel modo seguente:
- Per cinque punti del piano (in cui ogni terna non è allineata) passa una sola conica.
Voci correlate
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