Algebra supercommutativa

In matematica, una algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una Z₂-algebra graduata) che ha solo due elementi omogenei x e y per cui:

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy.\,}$

Equivalentemente si tratta di una supercommutatore

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\,}$

che è:

1) un'anticommutatore

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\,}$

${\displaystyle \{x,y\}=xy+yx\,\!}$

quando x e y sono due operatori fermionici, che soddisfano all'algebra di Grassmann ^[1];

2) un commutatore

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\,}$

${\displaystyle [x,y]=xy-yx\,}$

in tutti gli altri casi (ovvero x e y sono o due operatori bosonici oppure un operatore bosonico e uno fermionico) ^[2].

Ogni algebra commutativa (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'algebra di Grassmann (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra (vedi Centro di un gruppo), è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa.

L'algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Gli anelli graduati

Un anello graduato A is un anello che ha una decomposizioni in una somma diretta di gruppi (abeliani) additivi:

${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$ 

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfa alla seguente proprietà:

${\displaystyle x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r}}$ 

e così che:

${\displaystyle A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r}.}$ 

Gli elementi ${\displaystyle A_{n}}$  sono noti come elementi omogenei di grado n. Un sottoinsieme ideale oppure un sottoinsieme ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$  ⊂ A è omogeneo se per ogni elemento a ∈ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ , le parti omogenee di a sono pure contenute in ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$ 

Se I è un insiemo omogeneo ideali in A, allora ${\displaystyle A/I}$  è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

${\displaystyle A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.}$ 

L'algebra graduata definizione formale

Un'algebra A su un anello R è un'algebra graduata se è graduato come un anello. Nel caso in cui un anello R è anche un anello graduato, allora si richiede che:

1. A_iR_j ⊂ A_i+j, e
2. R_iA_j ⊂ A_i+j.

Si noti che la definizione di 'anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove "R" è graduato in modo banale (ogni elemento della "R" è di grado zero).

Superalgebra

In matematica e in fisica teorica una superalgebra è una Z₂- algebra graded (algebra graduata)^[3]. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un anello commutativo o un campo che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".

Il prefisso super- deriva dalla teoria della supersimmetria in fisica teorica. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria ^[4]. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.

Definizione formale

Sia K un fissato anello commutativo; nella maggior parte delle applicazioni K è un campo come R o C.

Una superalgebra su K è un K-modulo A con una decomposizione in una somma diretta:

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$ 

con una moltiplicazione bilineare A × A → A tale che:

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$ 

con gli indici che hanno modulo 2.

Note

1. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
2. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985
3. ^ Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .
4. ^ Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985

Bibliografia

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN: 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• Junker G. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, Springer-Verlag (1996).
• Kane G. L., Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
• Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
• Wess, Julius, and Jonathan Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
• Bennett GW, et al; Muon (g−2) Collaboration, Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm, in Physical Review Letters, vol. 92, n. 16, 2004, p. 161802, DOI:10.1103/PhysRevLett.92.161802.
• (EN) Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. Supersymmetry in Quantum Mechanics, Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
• (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Collegamenti esterni

• (EN) A Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Joseph D. Lykken, 1996.
• (EN) An Introduction to Supersymmetry, Manuel Drees, 1996.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Adel Bilal, 2001.
• (EN) An Introduction to Global Supersymmetry, Philip Arygres, 2001.
• (EN) Weak Scale Supersymmetry, Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
• (EN) Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). New g−2 measurement deviates further from Standard Model
• (EN) Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). Fermilab's CDF scientists have discovered the quick-change behavior of the B-sub-s meson.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra graduata
• Algebra di Super-Poincaré
• Anello commutativo
• Ideale

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