Triangolo di Tartaglia

Il Triangolo di Tartaglia (anche detto triangolo di Pascal o Khayyàm o Yanghui^[2]) è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.

Triangolo di Tartaglia disegnato dal matematico cinese Zhu Shijie nel 1303^[1]

Costruzione

Le prime righe del Triangolo di Tartaglia sono le seguenti:

                                          1
                                       1     1
                                    1     2     1
                                 1     3     3     1
                              1     4     6     4     1
                           1     5     10    10    5     1
                        1     6     15    20    15    6     1
                     1     7     21    35    35    21    7     1
                  1     8     28    56    70    56    28    8     1
               1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
            1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
         1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
      1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
   1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
 1     14    91    364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001  364   91    14    1

 

Ogni numero nel triangolo è la somma dei due numeri superiori.

In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente. Ossia, se k e n sono interi positivi, e k è minore o uguale a n:

${\displaystyle C_{n,k}^{}={n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{per }}k=0{\mbox{ oppure }}k=n\\C_{n-1,k-1}^{}+C_{n-1,k}^{}&{\mbox{negli altri casi}}\end{matrix}}\right.}$ 

La potenza del binomio

  Lo stesso argomento in dettaglio: Binomio di Newton.

L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio. Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo di ${\displaystyle (a+b)_{}^{4}}$ , è sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè: 1, 4, 6, 4, 1). E dunque possiamo scrivere:

${\displaystyle (a+b)_{}^{4}=a_{}^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}.}$ 

In generale, nella n+1-esima riga si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio.

Per tale motivo, i numeri del triangolo di Tartaglia sono detti anche coefficienti binomiali, particolarmente studiati nell'ambito del calcolo combinatorio: si dimostra infatti che l'elemento di posizione k sulla riga n del triangolo di Tartaglia è il numero di combinazioni di n-1 elementi di classe k-1:

${\displaystyle C_{n+1,k+1}^{}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 

Dunque, la potenza del binomio può essere scritta anche con la formula seguente, che dobbiamo a Newton ed è comunemente indicata come formula del binomio di Newton:

${\displaystyle (a+b)_{}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k}}$ .

Formalismo matriciale

Con i classici indici del formalismo matriciale, il triangolo può essere costruito nel seguente modo. introdotti due indici ${\displaystyle i}$  e ${\displaystyle j}$  per denotare gli indici riga e colonna, possiamo scrivere:

riga 1: ${\displaystyle x_{11}=1}$  ; ${\displaystyle x_{12}=1}$  ;

riga 2: ${\displaystyle x_{21}=1}$  ; ${\displaystyle x_{22}=2}$  ; ${\displaystyle x_{23}=1}$  ;

riga 3: ${\displaystyle x_{31}=1}$  ; ${\displaystyle x_{32}=3}$  ; ${\displaystyle x_{33}=3}$ ; ${\displaystyle x_{34}=1}$  ;

riga 4: ${\displaystyle x_{41}=1}$  ; ${\displaystyle x_{42}=4}$  ; ${\displaystyle x_{43}=6}$  ; ${\displaystyle x_{44}=4}$  ; ${\displaystyle x_{45}=1}$  ;

In generale, ${\displaystyle x_{ij}}$  è una funzione di Dirichlet, che vale ${\displaystyle x_{ij}=x_{i-1,j-1}+x_{i-1,j}}$  con ${\displaystyle i=1....n}$  e ${\displaystyle j=1....n}$ , sempre (per ogni ${\displaystyle i}$  e ${\displaystyle j}$ ), tranne per ${\displaystyle j=1}$  oppure ${\displaystyle j=(i+1)}$ , ossia agli estremi (destro e sinistro) di ogni riga del triangolo, dove vale ${\displaystyle x_{ij}=1}$ .

Infatti, vale che ${\displaystyle x_{21}=1}$  , ${\displaystyle x_{31}=1}$  ; ${\displaystyle x_{3,j=(i+1)=4}=1}$  , ${\displaystyle x_{45}=1}$ , e che ${\displaystyle x_{42}=x_{i-1=4-1=3,j-1=2-1}+x_{3,2}=1+3=4}$ .

Tale formulazione è del tutto equivalente a quella precedente e più "classica" del coefficiente binomiale. Vengono solamente cambiati gli indici, riconducendosi al formalismo matriciale.

Proprietà

Il triangolo ha molte altre numerose proprietà, alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre dalle proprietà dei coefficienti binomiali (le due cose sono legate tra loro).

Condizione al contorno

Essendo ${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$  tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno.

Formula ricorrente

È nota la proprietà dei binomiali per cui ${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}}$ , questo porta ad una formula ricorrente per calcolare un numero del triangolo: se voglio conoscere il numero alla riga ${\displaystyle n}$  al posto ${\displaystyle k}$ , basta sommare i due numeri della fila precedente allo stesso posto e al posto precedente, cioè otteniamo proprio la formula di costruzione.

Simmetria del triangolo

Il triangolo è simmetrico rispetto all'altezza, cioè ${\displaystyle C_{n,k}=C_{n,n-k}}$ , questo poiché ${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$ .

Somma delle righe

Si può notare che:

        1          =  1
      1 + 1        =  2
    1 + 2 + 1      =  4
  1 + 3 + 3 + 1    =  8
1 + 4 + 6 + 4 + 1  = 16

Cioè la somma della ${\displaystyle n}$ -esima riga è ${\displaystyle 2^{n}}$ , si può dimostrare molto facilmente osservando che la somma della prima riga è ovviamente 1, e data una riga, ogni numero della riga successiva si ottiene sommando i due numeri superiori e che ogni numero superiore viene utilizzato due volte, quindi , indicando con ${\displaystyle S_{n}}$  la somma della riga ${\displaystyle n}$  ${\displaystyle S_{n}=S_{n-1}*2}$ .

Altra dimostrazione ancora più semplice consiste nel ricordare che ogni riga contiene i coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio, volendo prendere il binomio ${\displaystyle 1+1}$ , il suo sviluppo consiste nei semplici coefficienti, quindi, per esempio ${\displaystyle (1+1)^{3}=1+3+3+1=8}$ , ed in generale ${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}}$ .

Differenza nelle righe

Si può notare che:

      1 - 1        = 0
    1 - 2 + 1      = 0
  1 - 3 + 3 - 1    = 0
1 - 4 + 6 - 4 + 1  = 0

La somma dei numeri in posto dispari (1°, 3°, 5°,...) meno la somma dei numeri al posto pari (2°, 4°, 6°,...) da zero. Per le righe con un numero pari di elementi, questo è ovvio in quanto il triangolo è simmetrico (vedi sopra).

Per una dimostrazione generale ci affidiamo alla tecnica precedente prendendo come binomio (1-1), in questo modo otteniamo proprio la somma che cerchiamo, che non può che fare 0. Un esempio: ${\displaystyle (1-1)^{3}=1-3+3-1=0}$ .

Potenze di undici

Le cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente sul triangolo di Tartaglia:

        1          =     1
      1   1        =    11
    1   2   1      =   121
  1   3   3   1    =  1331
1   4   6   4   1  = 14641

Il metodo per la dimostrazione è sempre quello, prendendo il binomio 10+1; per esempio alla 4ª riga si ottiene ${\displaystyle (10+1)^{4}=1*10^{4}*1^{0}+4*10^{3}*1^{1}+6*10^{2}*1^{2}+4*10^{1}*1^{3}+1^{1}0^{0}*1^{4}=1*10000+4*1000+6*100+4*10+1=14641}$ .

E' importante notare, tuttavia, che dalla 6ª riga in poi l'equivalenza con le potenze di 11 si viene a perdere.

Somma delle diagonali

Prendiamo una porzione del triangolo:

                  1
               1     1
            1     2     1
         1     3     3     1
      1     4     6     4     1
   1     5     10    10    5     1
1     6     15    20    15    6     1

Sommando i numeri su una diagonale (1+3+6+10) otteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20).

Multipli di numero fissato

Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi, formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.

Pari:                                   1
                                     1     1
                                  1    \2/    1
                               1     3     3     1
                            1    \4     6     4/    1
                         1     5    \10    10/   5     1
                      1    \6/    15   \20/   15   \6/     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1    \8     28    56    70    56    28    8/    1
             1     9    \36    84    126   126   84    36/   9     1
          1    \10/   45   \120   210   252   210   120/  45   \10/  55    11    1
    1    \12    66    220/  495  \792   924   792/  495  \220   66    12/   1
 1     13   \78    286/  715   1287 \1716  1716/ 1287  715  \286   78/   13    1

Altre successioni di interi

Nel triangolo di Tartaglia, oltre ai coefficienti binomiali, si individuano anche altre successioni di interi positivi:

Numero di Catalan

I Numeri di Catalan si possono trovare in verticale partendo dal vertice, scendendo e dividendo per 1, 2, 3, 4 ... quindi sono 1/1, 2/2, 6/3, 20/4, 70/5 ... ovvero 1, 1, 2, 5, 14 ...

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1

Numeri di Fibonacci

I Numeri di Fibonacci possono essere trovati sommando le diagonali "storte", ottenute spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra. Esempio: ${\displaystyle 1+6+5+1=13=F_{7}}$  oppure ${\displaystyle 1+15+35+28+9+1=89=F_{11}}$ . Esiste anche un algoritmo per la determinazione dei coefficienti dei polinomi di Fibonacci.

                              1
                           1     1
                        1     2     1
                     1     3     3     1
                  1     4     6     4     1
               1     5     10    10    5     1
            1     6     15    20    15    6     1
         1     7     21    35    35    21    7     1
      1     8     28    56    70    56    28    8     1
   1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1

Serie dei numeri politopici

Ogni diversa diagonale del triangolo rappresenta una successione di numeri n-topici (una estensione alle n-dimensioni dei numeri poligonali, per esempio la 2° diagonale è composta dai numeri triangolari: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,..

La 3° diagonale dai numeri tetraedrici (3 dimensioni), la 4° dai numeri 4-topici (4 dimensioni), e così via.^[3]

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
 1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1

ogni numero nel triangolo di Tartaglia è dunque identificato dalle coordinate n ed m, vi è una semplice relazione tra tutte le coppie di numeri adiacenti aventi posizione (n,m) ed (n+1, m-1)

m * T(n,m) = n * T(n+1, m-1)

per esempio l'ottavo (8°) numero tetraedrico (3-topico) moltiplicato 3 è uguale al prodotto di 8 per il nono (9°) numero triangolare (2-topico) (3*120 = 8*45)

Il risultato che risale a Fermat e che il matematico considerava una "proposizione molto bella" ^[4] non è che l'espressione della seguente

${\displaystyle m{n+m-1 \choose m}=n{n+m-1 \choose m-1}}$ 

Non estendibilità alla radice n-esima

Il principio di induzione è un assioma della matematica valido per i numeri naturali. Un'estensione del principio ai numeri razionali o reali non è fattibile, sebbene esistono proprietà di numeri interi e razionali valide per ogni valore di n razionale o reale; tali proprietà vengono dimostrate senza utilizzare tale principio; in teoria sarebbe quindi possibile estendere la costruzione del triangolo di Tartaglia anche per il calcolo di potenze razionali del binomio.

Però la produttoria, la funzione fattoriale che da essa è definita, il coefficiente binomiale che a sua volta si calcola con la funzione fattoriale, hanno un insieme di definizione più ristretto, limitato ai numeri naturali. Ciò impedisce di estendere il triangolo di Tartaglia ad esponenti frazionari e di avere una formula esatta per il calcolo delle radici di ordine n-esimo.

D'altra parte, anche individuati i coefficienti col Triangolo di Tartaglia, resterebbero da definire le potenze (decrescenti in ${\displaystyle a}$  e crescenti in ${\displaystyle b}$ ) da attribuire nei diversi termini.

Nota storica

La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo^[1] e forse anche in epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà del XVI secolo, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Stiefel che ne scrisse nel 1544.

Nel triangolo è presente "1" al primo livello, due volte "1" al secondo e poi gli altri numeri. Ciò rappresenta nei numeri il passaggio dall'Uno alla Diade, tipicamente platonico. La Diade del secondo livello deriva da uno sdoppiamento dell'Uno. Tartaglia ebbe contatti con Cardano, autore del "De subtilitate" (1547) e il "De rerum varietate" (1557) che contengono una riflessione sulla natura tipicamente rinascimentale, ispirata dal neoplatonismo.

Note

1. Katz, V.J. (1992) A History Of Mathematics : An Introduction d'après http://www.roma.unisa.edu.au/07305/pascal.htm
2. ^ (EN) Pascal's Triangle, in Wolfram MathWorld.
3. ^ John H. Conway, Richard K. Guy, Il libro dei numeri. Hoepli 1999 ISBN 88-203-2519-5.
4. ^ André Weil, Teoria dei numeri. Einaudi 1993 ISBN 88-06-12745-4

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