Disuguaglianza triangolare

La disuguaglianza triangolare è una proprietà matematica. Essa è una delle proprietà caratterizzanti una distanza in uno spazio metrico. Formalmente tale proprietà dice che, dato lo spazio metrico (X,d), allora

${\displaystyle \forall x,y,z\in X:d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$.

È facilmente visualizzabile considerando x, y e z come vertici di un triangolo e come d(x, y) la lunghezza del lato xy: in tal modo si traduce nel constatare che la lunghezza di un lato è minore o uguale della somma degli altri due.

Se considerata in un qualsiasi spazio normato V con la metrica indotta e scegliendo come z lo 0 di V, essa dunque ci porta a dire che:

${\displaystyle \|x+y\|=d(x,-y)\leq d(x,0)+d(-y,0)=\|x-0\|+\|-y-0\|=\|x\|+\|-y\|=\|x\|+\|y\|}$

Cioè:

${\displaystyle \forall x,y\in V:\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$

Dunque all'interno dei numeri reali con la norma euclidea, assume la nota forma:

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} :|x+y|\leq |x|+|y|}$.

Per una ulteriore dimostrazione di quest'ultima disuguaglianza basta scrivere le relazioni:

${\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}$ e ${\displaystyle -|y|\leq y\leq |y|}$

Quindi sommare membro a membro ottenendo

${\displaystyle -(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|}$

da cui si ottiene la tesi.

Voci correlate

• Subadditività

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica